William Robertson Smith címkéhez tartozó bejegyzések

A nabla

A nabla szívmelengetően szimmetrikus differenciáloperátor. A definíciója és itt bemutatott használata során, mely szigorúan emlékeztető jellegű, pusztán az ébrenlét fenntartása érdekében, Einstein-konvenciót alkalmazunk, és csak a legszükségesebbekre szorítkozunk. Feltételezzük, hogy ei ortonormált bázis R3-ban (a három dimenziónak a rotáció bevezetésekor lesz jelentősége), ej pedig a duális bázis, azaz ej˙ei = δij. Ekkor tehát

Ennek hatására egy differenciálható v vektormezőből annak deriválttenzora képződik:

Ennek skalárinvariánsát (a divergenciát) és a vektorinvariánsa kétszeresét (a rotációt), valamint skalármezők gradiensét értelemszerűen kaphatjuk:

Itt

a permutációs szimbólum: ha (i, j, k) (1, 2, 3) páros permutációja, akkor értéke 1, ha páratlan, akkor -1, egyébként 0.
Mindenféle ideológiai rendszereket dolgoztak ki használatának egykori szorgalmazói annak megmagyarázására, hogy már a legközönségesebb differenciálási szabályok is miért bonyolódnak el a használatától, helyesebben, hogy miért nem egyszerűsödnek le. Példának okáért

Nem látszik az operátor használatának különösebb értelme. De ekkor az ideológusok kis vonásokat helyeznek el a szereplő vektormezőkre, a nablát hol differenciáloperátorként, hol közönséges tenzorként értelmezik, és kihozzák a fenti formulát. Egységes álláspont a különféle egyéb formulák magyarázatára nem alakult ki. Jobban járunk (ha elismeréssel is adózunk annak, hogy a differenciálgeometriában mégiscsak sikerült kidolgozni egységes és összefüggő koncepcióját), ha az univerzum még mindig elég tágas megismerhető felére korlátozzuk vizsgálatainkat, és arra összpontosítunk, hogyan jelent meg a matematikai kalkulusban a nabla fogalma és elnevezése. Bővebben…