Szofista Antifon címkéhez tartozó bejegyzések

Gömbök és görögök

Az élet egy egész napos őrszolgálatra hasonlít:
m
ire megpillantjuk a fényt, már át is kell adnunk a helyünket.

(Szofista Antifon, Kr.e. V – IV. sz.)

1 Valenciennes,_Pierre-Henri_de_-_Cicero_Discovering_the_Tomb_of_Archimedes

de Valenciennes (1750 – 1819): Cicero (Kr.e. 106 – 43) Kr.e. 75-ben megtalálja Arkhimedes (Kr.e. 285? – 212) sírját (1787)

Gyerekkorunk csodált elemi gömbtérfogat-számítási mintája:

2 sphere_cavalieri_svg

– az ábrán látható módon helyezzünk egymás mellé egy r sugarú félgömböt és egy olyan r sugarú, r magasságú hengert, melyből – amint az ábrán – felülről kivágtunk egy r sugarú, r magasságú kúpot. Minden szereplő test forgástest. Az utóbbi (bal oldali) test térfogatát megkapjuk, ha a henger térfogatából kivonjuk a harmad akkora kúptérfogatot. Az eredmény 2r3π/3. Most messük el a két testet vízszintesen y magasságban. A bal oldali test keresztmetszete körgyűrű, melynek külső sugara r, belső sugara y, így területe (r2y2) π. A félgömb keresztmetszete kör lesz, melynek ugyanekkora a területe, hiszen Pythagoras (Kr.e. 570? – 495) tétele értelmében sugara négyzete megkapható egy derékszögű háromszög átfogója négyzetéből (r2) kivonva az ismert másik befogó négyzetét (y2). De ha két testet egyenlő magasságokban elmetszve ugyanakkora területű keresztmetszeteket kapunk (tételeztük fel gyerekfejjel, ám mégsem alaptalanul), a két test térfogata megegyezik. Vagyis a teljes gömb térfogata, egybecsengően a függvénytáblázatok képleteivel, 4r3π/3. Bővebben…