evolvens címkéhez tartozó bejegyzések

Önevolvens

Induljunk ki a [0, 1] intervallumon értelmezett olyan görbéből, mely korlátos, a [0,1)-en kétszer folytonosan deriválható (C2), konvex, a 0-ban a deriváltja 0, az 1-ben a végtelenhez tart. Az ábrán egy ilyen görbét látunk.

ellipse_black

Mindenekelőtt mutassuk meg, hogy a görbe rektifikálható, azaz létezik ívhossza. Ha a szokásos ívhosszformulát tekintjük:

1-ivhossz

elsőre kényelmetlenül érinthet bennünket, hogy a deriváltfüggvény nem korlátos. Ezért az integrálást csak addig az x0-ig végezzük, amíg a derivált értéke éppen eléri az 1-et, a görbe maradék szakaszára pedig annak inverzének ívhosszát számítjuk ki, mely nyilvánvalóan létezik és ugyanakkora.
Fejtsük le a görbét a legfelső pontjából kiindulva, más szóval minden érintőjére mérjük rá a haladási iránnyal ellentétesen az addig megtett ív hosszát, vagy, hagyományos elnevezéssel, képezzük a görbe evolvensét. A kapott görbének az első görbe s0 = 0 ívparaméteréhez tartozó pontjában az érintő vízszintes, az x-tengelybe a görbeszakasz függőlegesen fut be, és a görbe simasági tulajdonságai megmaradnak. Minden együttáll, hogy az eljárást folytassuk, ám a befutási pontból. Az eljárást a továbbiakban úgy ismételgetjük, hogy mindig a befutási, azaz a 90° meredekségű pontból indítjuk az új lefejtést.

2-lefejtes Bővebben…