Programozás kategória bejegyzései

Különös attraktorok és a POV-Ray

Egy dinamikai rendszer különös attraktorán olyan, végesben elhelyezkedő halmazt értünk, mely (matematikailag körülhatárolt értelemben) anélkül vonzza a pályákat, hogy maga megoldás vagy ezek egyesítése lenne. A matematikai precizitás szükségességét kiemeli, hogy például a dinamikai rendszer esetleg véges terének egésze szükségképpen nem engedi ki magából a pályagörbéket, mégsem mondjuk különös attraktornak. De a fogalom finomszerkezetébe nem megyünk bele.
Az időjárás változásait vizsgáló Edward Norton Lorenz (1917 – 2008) bukkant először különös attraktorra 1963-ban, melyről Deterministic Nonperiodic Flow, Determinisztikus nemperiodikus áramlás című „szent iratában” számolt be. Az általa vizsgált háromdimenziós közönséges differenciálegyenlet-rendszer ránézésre elképesztően egyszerű:
Lorenz ezzel a cikkével alapozta meg a káoszelméletet, egyszersmind ő volt, aki a kaotikus rendszerek viselkedésének különös érzékenységére a kezdeti feltételektől a „lepkeszárny-hatás” („pillangóhatás”) fogalmát[1] egy pár évvel későbbi előadásában felvetette, melyet egy egyszerű kérdésben összefoglalhatunk: vajon egy pillangó szárnycsapásai Brazíliában képesek-e tornádót előidézni Texasban?[2]
Bővebben…

Charpit módszere a POV-Ray felhasználásával

Nemrégen a POV-Ray rajzolóprogramot[1] felkészítettük a mintegy százhúsz éves negyedrendű Carl David Tolmé Runge (1856 – 1927)-Martin Wilhelm Kutta (1867 – 1944)-módszer alkalmazására[2]. Most annyiban teszünk egy további kis lépést, hogy vizsgálatainkat kiterjesztjük elsőrendű nemlineáris implicit parciális differenciálegyenletekre. Bővebben…

Runge-Kutta a rajzos gyakorlatban

A mai alkalommal egyszerű programozási feladatot mutatunk be. A  POV-Ray rajzprogramban[1] a mintegy százhúsz éves negyedrendű Carl David Tolmé Runge (1856 – 1927)-Martin Wilhelm Kutta (1867 – 1944)-módszert[2] alkalmazzuk olyan módon, hogy bevisszük egy háromdimenziós autonóm (azaz időtől független) közönséges differenciálegyenlet-rendszer jobboldalát, a kezdeti értékeket, és néhány természetes egyéb paramétert, úgymint

  • a lépésközt
  • a lépésszámot
  • azt, hogy a közelítő poligon minden hányadik pontját jelenítse meg
  • a primitívnek választott kúp alapkörének sugara.

Szemünk már hozzászokott a három koordinátatengely elhelyezkedéséhez. A POV-Ray teker egyet ezen: balsodrású rendszert állít fel az y- és z-tengelyek felcserélésével. Mi ezt visszatekerjük.
Kettős ciklussal oldjuk meg azt, hogy ne az összes poligonpont jelenjen meg. (Az az út értelemszerűen járhatatlan, hogy a lépésközt nagyobbítjuk meg.) A közelítő (sárgás színűre beállított) görbe mellett még megjelenítjük a három koordinátatengelyt: az abszcisszatengely vörös, az ordinátatengely zöld, az applikátatengely kék. (Magától értetődik, hogy a színösszeállítás változtatható, például a kúpok színváltoztatásával kifejezhetnénk az idő múlását vagy valamelyik koordináta változását.) Egyszerű illusztrációnkban a következő nemlineáris rendszert vizsgáljuk:
A „technikát” hallgatólagosan már korábban is alkalmaztuk, amikor egy további külső ciklussal több megoldásgörbét is kirajzoltattunk, ezzel mintegy felületet imitálva. Ha reprodukálni akarnánk a történteket, az eljárás a következő.

  • Győződjünk meg, van-e a winchesterünkön POV-Ray. A továbbiakban azzal a feltételezéssel élünk, hogy van.
  • Másoljuk ki az alább látható kis programot, tegyük bele egy (addig) üres Notepad-dokumentumba, válasszunk egy fantázianevet, például RK, és raktározzuk el a dokumentumot RK.pov névvel.
  • Kattintsunk rá kétszer és futtassuk a POV-Ray-ben.

A program: Bővebben…

Függelék: N- és M-feladat

N-feladat: adott egy hegyesszög két szára, e és f. Adott két különböző P és Q pont a szögtartomány belsejében. Szerkesztendő ABCD törtvonal a következők ismeretében:

  • B és D e-n helyezkedik el;
  • A és C f-en;
  • AB = BC;
  • AB || CD
  • P rajta van AB-n, Q CD-n.


Bővebben…

Excel-hancúrozás

„Kisfilm” az Excelben. Csak illusztrálunk néhány apró trükköt, a „matematikai háttér” gyermekded. körök gördülése
Bocsánat a triszkaidekafóbiásoktól: tizenhárom kör fog mozogni a kisfilmben. Bővebben…

Meander

1 meander

Ha arra támad kedvünk, hogy véletlenszerű, önmagukat nem metsző görbéket rajzoljunk, ne erőltessük – mentsük le innen a fájlt.

meanderrajzolo

Bővebben…

A szinkron szinkronizálása

Előfordul, hogy az idegennyelvű filmünk alá betöltött (magyar) képfelirat elcsúszik a megszólaláshoz képest.
Van megoldás! Méghozzá egyszerű.
Az alábbi lépéseket úgy tartsuk be, mintha egy receptben látnánk őket. (Célszerű a szinkronfájlról biztonsági másolatot készíteni!) Bővebben…

Júlia

Amikor Gaston Julia (1893 – 1978) kiötlötte a róla elnevezett halmazokat, felsóhajtott: eljön a kor, amikor láthatják is majd őket…

Julia5

Tovább! Tovább! Tovább!

Julia-halmaz

NIM

Van egy asztallap, rajta valahány kupac babszem vagy kavics (halmazaritmetikai jártasságunkat elmélyítendő). Ketten játszanak. Felváltva egy-egy nemüres kupacot kiválasztanak, abból elvesznek annyi szemet, amennyit akarnak, de legalább egyet. Az nyer, aki lecsupaszítja az asztallapot.

1901-ben Charles L. Bouton (1869 – 1922) amerikai matematikus kidolgozta a stratégiáját.

Itt látható egy játszófájl (Excel).

Bővebben…