Geometria kategória bejegyzései

Önevolvens

Induljunk ki a [0, 1] intervallumon értelmezett olyan görbéből, mely korlátos, a [0,1)-en kétszer folytonosan deriválható (C2), konvex, a 0-ban a deriváltja 0, az 1-ben a végtelenhez tart. Az ábrán egy ilyen görbét látunk.

ellipse_black

Mindenekelőtt mutassuk meg, hogy a görbe rektifikálható, azaz létezik ívhossza. Ha a szokásos ívhosszformulát tekintjük:

1-ivhossz

elsőre kényelmetlenül érinthet bennünket, hogy a deriváltfüggvény nem korlátos. Ezért az integrálást csak addig az x0-ig végezzük, amíg a derivált értéke éppen eléri az 1-et, a görbe maradék szakaszára pedig annak inverzének ívhosszát számítjuk ki, mely nyilvánvalóan létezik és ugyanakkora.
Fejtsük le a görbét a legfelső pontjából kiindulva, más szóval minden érintőjére mérjük rá a haladási iránnyal ellentétesen az addig megtett ív hosszát, vagy, hagyományos elnevezéssel, képezzük a görbe evolvensét. A kapott görbének az első görbe s0 = 0 ívparaméteréhez tartozó pontjában az érintő vízszintes, az x-tengelybe a görbeszakasz függőlegesen fut be, és a görbe simasági tulajdonságai megmaradnak. Minden együttáll, hogy az eljárást folytassuk, ám a befutási pontból. Az eljárást a továbbiakban úgy ismételgetjük, hogy mindig a befutási, azaz a 90° meredekségű pontból indítjuk az új lefejtést.

2-lefejtes Bővebben…

A három tudós legendája és valósága

Ha már nem űz a munka kényszere,
Ülhetsz – ilyesmit hinni bölcs mer-e?
Mért áltatod magad hiú reménnyel?
Jön a halál és karonfog: Gyere!

Omar Hajjam (1048? – 1131?) rubaija. Londesz Elek (1868 – 1934) fordítása[1]

(Az alábbiakban érintjük a mohamedán világ történelmének egyes fejezeteit. Ez a történelem szövevényes, hasonlóan a keresztény világ történelméhez. Ha a neveket bonyolultnak találjuk, jussunk el csak az első két személynévig. Annyi ezúttal elég lesz.)

Borges (1899 – 1986) 1952-ben kiadott Otras inquisiciones című tanulmánykötetéről, mely nálunk Újabb nyomozások címmel jelent meg Scholz László fordításában 1999-ben, már beszéltünk.[2] Ennek El enigma de Edward Fitzgerald (Edward Fitzgerald rejtélye) című írása elején három ifjúval találkozunk.[3] Nizam al-Mulk (1018 – 1092), akkori nevén Abu Ali Hasan (ibn Ali Tusi), Hassan-i Sabbah (1050? – 1124) és Omar Hajjam közösen tanulmányozza a Koránt, és bár utóbbi hajlik a szkepticizmusra, ez nem gátolja apológiája kidolgozásában. Mindhárman jeles tudósokká érnek későbbi éveikben, Nizam al-Mulk és Hassan-i Sabbah a hit tudományában, Omar Hajjam a matematikában és az asztronómiában (anélkül hogy hinne a csillagok sorsfordító erejében). Akkor félig játékosan, de örök barátsággal megfogadják, hogy felnőtt éveikben segíteni fogják egymást. Így is lesz, Nizam al-Mulk vezír lesz és állja szavát. Hassan-i Sabbah udvari méltóságot kér és kap, de rajtaveszt, az intrikák szövevényéből örök száműzetéssel segítik ki, amit aztán ő gyilkossággal honorál, míg Omar, a csendes tudós a békés vizsgálódás feltételeivel is beéri. Ez ki is jut neki élete végéig. A két emberöltővel később élt Farid du-Din Attarral (1119? – 1229?), aki éppúgy nishapuri születésű volt, mint Omar Hajjam, már találkoztunk. Tudjuk, hogy Borgesben egy Jókai (1825 – 1904) veszett el, sőt nemcsak tudjuk, már láttuk is, ezúttal a három barát legendáját, mely lényegének, azaz magának a barátságnak és a fogadalomnak, nincs valóságalapja, nem Borges konfabulálta. A legenda széles körben ismert[4], két híres regény is született a motívumaiból. A libanoni Amin Maalouf Szamarkand[5]és a szlovén Vladimir Bartol Alamut[6] című feldolgozása egyaránt megjelent magyarul is. A Keeper (Megtartó) című film alkotó módon még szerelmi szálat is sző a történetbe.[7] A három tudós férfiú csodás elemekkel tarkított életrajzai sok helyen hozzáférhetők, és ha együtt nem is alkottak nagyot, külön-külön mindegyikük nevezetes alakja korának. Ebből az egyetlen szempontból foglalkozunk velük kicsit közelebbről is. Bővebben…

A munkanélküliség világa

1 Euklides

Eukleides (sz. Kr.e. 300?)

Nem célom korunk zord fegyelmező eszközén, a munkanélküliségen gúnyolódni, inkább az Ezeregyéjszaka bűvös hangulatát, a soha ki nem ürülő gyémántos medencéket és völgyeket, mindannyiunk álmát: a munkavégzést nem igénylő világot szeretném felidézni. Persze ez egy erősen leegyszerűsített, háromdimenziós, euklidesi világ lesz. Bonyolultabb univerzumokat is elképzelhetünk, hasonló következtetésekkel, de azokra nem terjed ki a következő rövid, egyszerű eszmefuttatás.

 

Bővebben…

Júlia

Amikor Gaston Julia (1893 – 1978) kiötlötte a róla elnevezett halmazokat, felsóhajtott: eljön a kor, amikor láthatják is majd őket…

Julia5

Tovább! Tovább! Tovább!

Julia-halmaz

Húrsokszögek porizmái

 (A porizmának nincs definíciója, végtelen sok egymásba kapcsolódó tételt értenek rajta.)

  • 1. Állítás: egy húrnégyszöget felépítő négy háromszög magasságpontjai a húrnégyszöggel egybevágó húrnégyszöget alkotnak.

Bővebben…