Matekozós kategória bejegyzései

Különös attraktorok és a POV-Ray

Egy dinamikai rendszer különös attraktorán olyan, végesben elhelyezkedő halmazt értünk, mely (matematikailag körülhatárolt értelemben) anélkül vonzza a pályákat, hogy maga megoldás vagy ezek egyesítése lenne. A matematikai precizitás szükségességét kiemeli, hogy például a dinamikai rendszer esetleg véges terének egésze szükségképpen nem engedi ki magából a pályagörbéket, mégsem mondjuk különös attraktornak. De a fogalom finomszerkezetébe nem megyünk bele.
Az időjárás változásait vizsgáló Edward Norton Lorenz (1917 – 2008) bukkant először különös attraktorra 1963-ban, melyről Deterministic Nonperiodic Flow, Determinisztikus nemperiodikus áramlás című „szent iratában” számolt be. Az általa vizsgált háromdimenziós közönséges differenciálegyenlet-rendszer ránézésre elképesztően egyszerű:
Lorenz ezzel a cikkével alapozta meg a káoszelméletet, egyszersmind ő volt, aki a kaotikus rendszerek viselkedésének különös érzékenységére a kezdeti feltételektől a „lepkeszárny-hatás” („pillangóhatás”) fogalmát[1] egy pár évvel későbbi előadásában felvetette, melyet egy egyszerű kérdésben összefoglalhatunk: vajon egy pillangó szárnycsapásai Brazíliában képesek-e tornádót előidézni Texasban?[2]
Bővebben…

Charpit módszere a POV-Ray felhasználásával

Nemrégen a POV-Ray rajzolóprogramot[1] felkészítettük a mintegy százhúsz éves negyedrendű Carl David Tolmé Runge (1856 – 1927)-Martin Wilhelm Kutta (1867 – 1944)-módszer alkalmazására[2]. Most annyiban teszünk egy további kis lépést, hogy vizsgálatainkat kiterjesztjük elsőrendű nemlineáris implicit parciális differenciálegyenletekre. Bővebben…

Runge-Kutta a rajzos gyakorlatban

A mai alkalommal egyszerű programozási feladatot mutatunk be. A  POV-Ray rajzprogramban[1] a mintegy százhúsz éves negyedrendű Carl David Tolmé Runge (1856 – 1927)-Martin Wilhelm Kutta (1867 – 1944)-módszert[2] alkalmazzuk olyan módon, hogy bevisszük egy háromdimenziós autonóm (azaz időtől független) közönséges differenciálegyenlet-rendszer jobboldalát, a kezdeti értékeket, és néhány természetes egyéb paramétert, úgymint

  • a lépésközt
  • a lépésszámot
  • azt, hogy a közelítő poligon minden hányadik pontját jelenítse meg
  • a primitívnek választott kúp alapkörének sugara.

Szemünk már hozzászokott a három koordinátatengely elhelyezkedéséhez. A POV-Ray teker egyet ezen: balsodrású rendszert állít fel az y- és z-tengelyek felcserélésével. Mi ezt visszatekerjük.
Kettős ciklussal oldjuk meg azt, hogy ne az összes poligonpont jelenjen meg. (Az az út értelemszerűen járhatatlan, hogy a lépésközt nagyobbítjuk meg.) A közelítő (sárgás színűre beállított) görbe mellett még megjelenítjük a három koordinátatengelyt: az abszcisszatengely vörös, az ordinátatengely zöld, az applikátatengely kék. (Magától értetődik, hogy a színösszeállítás változtatható, például a kúpok színváltoztatásával kifejezhetnénk az idő múlását vagy valamelyik koordináta változását.) Egyszerű illusztrációnkban a következő nemlineáris rendszert vizsgáljuk:
A „technikát” hallgatólagosan már korábban is alkalmaztuk, amikor egy további külső ciklussal több megoldásgörbét is kirajzoltattunk, ezzel mintegy felületet imitálva. Ha reprodukálni akarnánk a történteket, az eljárás a következő.

  • Győződjünk meg, van-e a winchesterünkön POV-Ray. A továbbiakban azzal a feltételezéssel élünk, hogy van.
  • Másoljuk ki az alább látható kis programot, tegyük bele egy (addig) üres Notepad-dokumentumba, válasszunk egy fantázianevet, például RK, és raktározzuk el a dokumentumot RK.pov névvel.
  • Kattintsunk rá kétszer és futtassuk a POV-Ray-ben.

A program: Bővebben…

Komplex gyökök geometriája

Ha az az ötletünk támad, hogy egy polinom gyökeinek mozgását vizsgáljuk a komplex számsíkon a szabad tag függvényében, rendszerint nehéz feladatként tornyosul előttünk, hogy konkrét szabad taghoz konkrét gyököket rendeljünk. A legegyszerűbb esetekben aggodalomra nincs okunk. Ha az y = x2 parabolát fel-le toljuk, akkor mindahányszor (pozitív sebességgel) áthaladunk az origón, a két gyök végtelen sebességgel egybeolvad, és a kollízió traumájában szét is pattan, de 90°-os irányt váltva. R2 és C természetesen nem összekeverendő, de hogy egy ábrán is látható legyen, ami történik, az R2-höz tartozó parabolát és a (komplex) gyökök mozgását eltérő színnel jelöljük. (A gyököknek ez a viselkedése szoros összefüggésben áll azzal, hogy az origóban a függvény deriváltja 0.)

Ha egy még mindig primitív másik példában, a valósban meglehetősen unalmasan viselkedő y = x3 + 3x-ben akarjuk ezt a vizsgálatot elvégezni, óva intek az x3 + 3x = c egyenlet megoldásától, ahol c valós szám.

A Niccolò Fontana Tartaglia (1499 – 1557) – Scipione del Ferro (1465 – 1526) – Gerolamo Cardano (1501 – 1576)-megoldóképlet ugyan közel fél évezrede rendelkezésünkre áll[1], de itt felesleges bonyodalmakhoz vezetne. Számszerű értékekre ugyanis nem vagyunk kíváncsiak, csak a gyökök által leírt pályákra. Ezért arra buzdítom az esetleges nyájas olvasót, tekintse inkább az e tekintetben egyenértékű x3 + 3x = c3 + 3c egyenletet. (Használjuk ki, hogy a függvény növekedő.) Itt a valós megoldás azonnal adódik: x = c. Nullára redukálva és az
(x – c) gyöktényező kiemelését követően a maradt másodfokú egyenletet megoldva a további két gyök és ha (némileg visszaélésszerűen) a valós részt x-szel, a képzetest y-nal jelöljük, azt találjuk, hogy valamekkora sebességgel a komplex konjugált gyökök az
y2 – 3x2 = 3 hiperbolán futnak.

A nagyságrend is leolvasható: ha a függőleges eltolás sebessége v > 0, akkor „kis” v-re a sebesség x irányú összetevője ~ – 0,167v, y irányú összetevője ~ 0,289v, „nagy” v-re ezek köbgyöke (akkor a köbös tag dominál a jobboldalon). Fordított irányban persze nincs nehéz dolgunk: a hiperbola bármely pontjához meg tudjuk mondani, mi az egyenlet jobboldalának értéke.
Ezúttal tehát a pihenőt vettük előre, de a folytatás is egyszerű lesz. Bővebben…

Elemi példák nem elszigetelt egyensúlyi helyzetekre

Aligha tagadhatjuk, hogy minden elmélet alapvető célja a tovább már nem egyszerűsíthető alapelemei lehetséges teljes egyszerűsítése és számának csökkentése.

Einstein (1879 – 1955): Az elméleti fizika módszeréről[1], 1933

Emlékszem Einstein egy megjegyzésére is, ami nyilvánvalóan a zenére is alkalmazható. Lényegében azt mondta, minden legyen a lehető legegyszerűbb, de ne annál egyszerűbb!

Sessions (1896 – 1985): Hogy jut egy „bonyolult” szerző odáig[2]. New York Times, 1950

Közönséges differenciálegyenlet-rendszerek által leírt dinamikai rendszerek elszigetelt egyensúlyi helyzeteinek lokális vizsgálata azokban az alapesetekben, amikor a kellően sima jobboldal linearizált része sajátértékeinek valós részei nem nullák (van, aki ezt hívja hiperbolikus esetnek), kivizsgáltnak tekinthető.[3] Ha itt némelyik szó jelentése esetleg már elhomályosult, kisebb kattintásmunka ezt a ködöt eloszlathatja. Innen több természetes irányba elindulhatunk. Mai alkalommal az „elszigetelt” megszorítástól szabadulunk meg. Közelebbről: feltesszük, hogy a jobboldal zérushelyei (az egyszerűség kedvéért egyenes) vonalon helyezkednek el, és hogy érdekesebb legyen, ezek egy félegyenes (vagy legalább egy szakasz) mentén taszítók, másik csoportjuk ugyanígy vonzó, és a két halmazt egy degenerált egyensúlyi helyzet választja el egymástól. Bővebben…

További apró palástolások

Egy kocka felületének, jól ismert módon, 11 síkba fejtett hálózata van, amennyiben csak az érdekel bennünket, egybevág-e két alakzat vagy sem. Ezeket azonosnak tekintjük a számlálás során. Az ábrákat sok helyen bemutatják, sőt, láttató, szemet gyönyörködtető animációval kísérik.[1] A bizonyítás már ritkább, a fellelhetők esetszétválasztásokon alapulnak, vagy a kockalapok egymáshoz viszonyított helyzetét téve a gondolatmenet középpontjába[2], vagy a hálózatban mint a lapközepek gráfjában leghosszabb utak hosszúságát (2, 3 vagy 4)[3]. Bővebben…

Felületek kifejtéséről röviden

Amikor valamely felület kifejtéséről beszélünk, rendszerint egy kúp vagy henger alakú csokoládét becsomagoló gépet látunk lelki szemeinkkel, melyre egy golyókat csomagoló gép irigykedve tekint, hiszen neki csak gyűréssel sikerül teljesítenie küldetését. A kifejtés a megajándékozott gyermek művelete a csokoládé megtisztítására.
Magát a fogalmat Leonhard Euler (1707 – 1783) vezette be a köztudatba.[1] Az itt következőkben semmi meglepőt nem fogunk találni. Ügyesen választott fogalmak magukért beszélnek. Kötelességünk azonban a szabatosságra törekvő leírás kisstílű, de megkerülhetetlen feladata. Nézzük a részleteket! Bővebben…

Függelék: N- és M-feladat

N-feladat: adott egy hegyesszög két szára, e és f. Adott két különböző P és Q pont a szögtartomány belsejében. Szerkesztendő ABCD törtvonal a következők ismeretében:

  • B és D e-n helyezkedik el;
  • A és C f-en;
  • AB = BC;
  • AB || CD
  • P rajta van AB-n, Q CD-n.


Bővebben…

Adott egy hegyesszögtartomány, belsejében két különböző pont…

Feladat: adott egy hegyesszög két szára, e és f. Adott két különböző P és Q pont a szögtartomány belsejében. Szerkesztendő ABC háromszög a következők ismeretében:

  • C e-n helyezkedik el;
  • A és B f-en;
  • CA = CB;
  • P rajta van CA-n, Q CB-n.

Bővebben…

A léggömb elrepül

– Kinek viszed? – kérdeztem tőle.
– A fiamnak. Beteg. Az orvos léggömböt rendelt neki.
– Elmosolyodtam.
– Mit mosolyogsz? – mondta indulatosan. – Nekem már csak ebben a semminél is könnyebb metángázban, ebben a ragadós kollodium hártyában van a reménységem.

Kosztolányi (1885 – 1936): A léggömb elrepül… (1911)[1]

A kollódium vagy gyapotmáz teljesen alkalmatlan léggömb-alapanyagnak, ráadásul veszedelmesen gyúlékony[2], akárcsak a CH4, a metán, amit Kosztolányi költő barátja a léggömböt feltöltő gázként említ. Nem alaptalanul! Csak a háborús idők kényszere vezette rá az Egyesült Államokat a héliumgáz nagyipari elkülönítésére[3], előtte a légballonokban, például Ferdinand Adolf Heinrich August von Zeppelin gróf (1838 – 1917) találmányában, alkalmaztak metánt is.[4]
Ezúttal egy szabadon engedett, héliummal töltött, gömb alakúnak feltételezett léggömb sorsát firtatjuk. Ha anyaga rendkívül feszes, akkor mindaddig emelkedik, amíg a belső és külső sűrűség meg nem egyezik, és ott egyensúlyi helyzetet ér el (akörül lengőmozgást végez). Ha az anyag kevésbé feszes, akkor a kipukkadás veszélye fenyegeti. Ennek feltételeit vizsgáljuk meg közelebbről. Bővebben…

Kis körnégyszögesítési praktikum

Állítás: legyen adott egy C2 síkgörbe, legyen továbbá f C1-beli. Tételezzük fel, hogy t + f(s)n merőleges egy állandó v nemzérus vektorra* (a szokásos jelölésekkel: t az érintő egységvektor, n a normális egységvektor, s az ívhosszparaméter). Tegyük fel továbbá, hogy a görbület zérushelyei nem torlódnak. Ekkor a görbe legalább szakaszonként elhelyezhető egy René Descartes (1596 – 1650)-féle derékszögű koordinátarendszerben úgy, hogy valamely valós m állandóra

teljesüljön, és ha van olyan pontja a görbének, melyben az érintő merőleges v-re, akkor úgy is, hogy

*) A síkban egyenértékűen úgy is mondhatnánk, állandó irányú.

Bővebben…

Izolda anyja és a tudós nők

liebe ist ein alsô saelic dinc,
ein alsô saeleclîch gerinc,
daz nieman âne ir lere
noch tugende hât noch ere.

Gottfried von Strassburg († 1215?):
Tristan und Isolt (1210?)[1]

Oly boldogság a szerelem,
Oly áldásos igyekezet,
Soha senki el nem ér
Nélküle becsületet és erényt.

Trisztán és Izolda

Gottfried von Strassburg életbölcsességekkel gazdagon díszített, nagyszabású szerelmi és hőskölteményének ősforrásait vannak, akik perzsa földön kutatják, de a keltisztikusok pozíciói erősebbek. Szerintük a kelta világ nyugati peremén, vagy Walesben, vagy a cselekmény valamely főbb helyszínén (Írországban vagy Cornwallban) keresendő a történet magva.

Cornwall

Mindenesetre valószínű, hogy a költő ismerte a XII. században alkotó normann Thomas d’Angleterre anglo-normann nyelven 1170-75 között írt Tristranját[2], mely Európa-szerte nagy hatást gyakorolt[3]. Műve nem maradt fenn egészben, de a tragikus befejezés a feldolgozások láncolatán át gondolatilag szinte változatlanul megy át Wagner (1813 – 1883) 1859-re befejezett Trisztán és Izoldában (WWV90) Izolda szerelmi halálába:

”Amis Tristran, quant mort vus vei,
Par raisun vivre puis ne dei.
Mort estes pur la meie amur,
e jo muer, amis, de tendrur,
Quant jo a tens ne poi venir
Pur vos e vostre mal guarir.

Se jo i fuisse a tens venue,
Vie vos eüsse rendue,
E parlé dulcement a vos
De l’amour qui fud entre nos…”

„Hogy halva látlak, Trisztanom,
Nem élhetek tovább, tudom.
Megölt értem a szerelem,
Engem pedig a gyötrelem,
Hogy nem jöhettem hamarabb
Meggyógyítani bajodat;

Ha partot érhetek elébb,
Új életet öntök beléd;
És gyöngéden beszélhetek
Kettőnk szerelméről neked…”

Képes Júlia fordítása (2001)[4]

Trisztán, Izolda és a bájital az 1330 és 43 között készült Libro de buen amorban (A jó szerelem könyve)

A szintén normann Béroul (1160? – 1213?) Roman de Tristanja (Trisztán regéje) már minden bizonnyal erre a műre épít, de a feltehetően szintén ebből (is) táplálkozó Gottfried von Strassburg-féle gigantikus feldolgozás is óriási népszerűségre tett szert. Forrásai sokfélék, hiszen vannak, akik a költemény utópikus vallásosságába még a látomásairól híres Bingeni Szent Hildegárd apátnő (1098 – 1179) írásait is beleérzik.[5] Őrzőhelyéről, a Müncheni Állami Könyvtárról Müncheni kódexnek is nevezett, az 1250 körül Strasbourgban írt példány a ma ismert legősibb fennmaradt változat, immár Ulrich von Türheim (1195? – 1250?) befejezésével. [6] Ezen az ősváltozaton alapulnak azok a kiadások, amelyekből Wagner is merített.[7]
Judith Ann Peraino Gottfried von Strassburg művében maszkulin vonásokra figyel fel[8]; kétségtelen, hogy művében Trisztán hősiessége sokkal központibb szerephez jut Izolda csodálatos gyógyító képességeinél, sárkányt is öl, szemben Wagner művével, melyben vitathatatlan Izolda elsődlegessége: mindvégig ő az aktív, a küzdő, harcoló fél, és Trisztán csak a III. felvonásban jut hosszan kibontakozó szerephez, de haldoklása közben. Az I. felvonásban is csak legénysége és fegyverhordozója, Kurwenal védi a bájital vétele előtt is révült hős érdekeit.  Bővebben…

Mese a négyzetszámokról

A napokban kettőhatványok első jegyeit vizsgáltuk. Miért is ne tehetnénk ezt meg ugyanígy négyzetszámokkal? – gondolhatnánk. Hiszen nem kell egyebet tenni a kiinduláshoz, mint hogy a 2N tízes számrendszerbeli alakjának első jegyét megadó képletben 2-t és N-et kicseréljük, és így N2 első jegyének formulája a következő: [10{2 lg N}]. Kétségkívül mást jelent a [0, 1) intervallumból feltekert egységkörre egyenlő lépésközökben pontokat felvinni (lásd a múltkori eljárást), mint egy ennél bonyolultabb, mondhatni „nemlineáris” módon, de ne adjuk fel ennyire hamar. A feladást odázzuk el! De hogy egyáltalán legyen mit feladni, a „vigyázat, csalok!” figyelmeztetést nem teszem ki menet közben. Csak a „nagy leleplezés” idején, a rövid gondolatmenet végén. Bővebben…

Kettő hatványai, előlről

Az, hogy 2 hatványai (pl. a 10-es számrendszerben) milyen jegyre végződnek, érdektelenségig egyszerű. Egy fokkal érdekesebb, hogy mit mondhatunk a kezdő számjegyekről. (A probléma és megoldása természetesen szintén ősi.) Bővebben…

Önevolvens

Induljunk ki a [0, 1] intervallumon értelmezett olyan görbéből, mely korlátos, a [0,1)-en kétszer folytonosan deriválható (C2), konvex, a 0-ban a deriváltja 0, az 1-ben a végtelenhez tart. Az ábrán egy ilyen görbét látunk.

ellipse_black

Mindenekelőtt mutassuk meg, hogy a görbe rektifikálható, azaz létezik ívhossza. Ha a szokásos ívhosszformulát tekintjük:

1-ivhossz

elsőre kényelmetlenül érinthet bennünket, hogy a deriváltfüggvény nem korlátos. Ezért az integrálást csak addig az x0-ig végezzük, amíg a derivált értéke éppen eléri az 1-et, a görbe maradék szakaszára pedig annak inverzének ívhosszát számítjuk ki, mely nyilvánvalóan létezik és ugyanakkora.
Fejtsük le a görbét a legfelső pontjából kiindulva, más szóval minden érintőjére mérjük rá a haladási iránnyal ellentétesen az addig megtett ív hosszát, vagy, hagyományos elnevezéssel, képezzük a görbe evolvensét. A kapott görbének az első görbe s0 = 0 ívparaméteréhez tartozó pontjában az érintő vízszintes, az x-tengelybe a görbeszakasz függőlegesen fut be, és a görbe simasági tulajdonságai megmaradnak. Minden együttáll, hogy az eljárást folytassuk, ám a befutási pontból. Az eljárást a továbbiakban úgy ismételgetjük, hogy mindig a befutási, azaz a 90° meredekségű pontból indítjuk az új lefejtést.

2-lefejtes Bővebben…