Matekozós kategória bejegyzései

Mese a négyzetszámokról

A napokban kettőhatványok első jegyeit vizsgáltuk. Miért is ne tehetnénk ezt meg ugyanígy négyzetszámokkal? – gondolhatnánk. Hiszen nem kell egyebet tenni a kiinduláshoz, mint hogy a 2N tízes számrendszerbeli alakjának első jegyét megadó képletben 2-t és N-et kicseréljük, és így N2 első jegyének formulája a következő: [10{2 lg N}]. Kétségkívül mást jelent a [0, 1) intervallumból feltekert egységkörre egyenlő lépésközökben pontokat felvinni (lásd a múltkori eljárást), mint egy ennél bonyolultabb, mondhatni „nemlineáris” módon, de ne adjuk fel ennyire hamar. A feladást odázzuk el! De hogy egyáltalán legyen mit feladni, a „vigyázat, csalok!” figyelmeztetést nem teszem ki menet közben. Csak a „nagy leleplezés” idején, a rövid gondolatmenet végén. Bővebben…

Kettő hatványai, előlről

Az, hogy 2 hatványai (pl. a 10-es számrendszerben) milyen jegyre végződnek, érdektelenségig egyszerű. Egy fokkal érdekesebb, hogy mit mondhatunk a kezdő számjegyekről. (A probléma és megoldása természetesen szintén ősi.) Bővebben…

Önevolvens

Induljunk ki a [0, 1] intervallumon értelmezett olyan görbéből, mely korlátos, a [0,1)-en kétszer folytonosan deriválható (C2), konvex, a 0-ban a deriváltja 0, az 1-ben a végtelenhez tart. Az ábrán egy ilyen görbét látunk.

ellipse_black

Mindenekelőtt mutassuk meg, hogy a görbe rektifikálható, azaz létezik ívhossza. Ha a szokásos ívhosszformulát tekintjük:

1-ivhossz

elsőre kényelmetlenül érinthet bennünket, hogy a deriváltfüggvény nem korlátos. Ezért az integrálást csak addig az x0-ig végezzük, amíg a derivált értéke éppen eléri az 1-et, a görbe maradék szakaszára pedig annak inverzének ívhosszát számítjuk ki, mely nyilvánvalóan létezik és ugyanakkora.
Fejtsük le a görbét a legfelső pontjából kiindulva, más szóval minden érintőjére mérjük rá a haladási iránnyal ellentétesen az addig megtett ív hosszát, vagy, hagyományos elnevezéssel, képezzük a görbe evolvensét. A kapott görbének az első görbe s0 = 0 ívparaméteréhez tartozó pontjában az érintő vízszintes, az x-tengelybe a görbeszakasz függőlegesen fut be, és a görbe simasági tulajdonságai megmaradnak. Minden együttáll, hogy az eljárást folytassuk, ám a befutási pontból. Az eljárást a továbbiakban úgy ismételgetjük, hogy mindig a befutási, azaz a 90° meredekségű pontból indítjuk az új lefejtést.

2-lefejtes Bővebben…

Kis pihenő

Célunk egy páratlan szám prímtényezős felbontásában a 3 kitevője és a fennmaradó, 3-at nem tartalmazó tényező felhasználásával megadni, mekkora a 2 kitevője a kiindulásul vett páratlan számnál 1-gyel kisebb számban. Azonnal adható egy eljárás: szorozzuk össze a 3-at tartalmazó és a 3-at nem tartalmazó tényezőket, a kapott számból vonjunk le 1-et, és állapítsuk meg az így keletkezett szám prímtényezős felbontásában 2 kitevőjét. Esetenként azonban ez túlságosan fáradalmas, például ha arra volnánk kíváncsiak, 3-nak a 1234567891098765432-edik hatványából 1-et kivonva mi lesz 2 kitevője a kapott számban.[1] Ilyenkor hasznos lehet egy „szabály”, az általános iskolában tanult oszthatósági szabályok analógiájára, ami lehetővé teszi az eredmény megadását a konkrét számolások elvégzése nélkül is. Megkérdőjelezi a probléma esetleges megoldásának hasznát az is, hogy vajon miért lenne lényegesen könnyebb egy prímtényezős felbontásban 3 kitevőjét megtalálni, mint egy 1-gyel kisebb számban 2-ét. Erre az a válasz adható, hogy egyes esetekben a természetes számnak éppen olyan alakjával dolgozunk, melyben a 3-at tartalmazó tényező külön rendelkezésre áll. De az eddigi természetes ellenvetéseinkre adott válaszaink nem tudják feledtetni, hogy a problémának ez a felvezetése nem matematikai, hiszen szerepel benne egy idézőjeles szó. A továbbiakban azonban legalább abban az értelemben matematikai lesz a fejtegetésünk, hogy bizonyításokkal állunk jót a kijelentéseinkért. Abban a magasabb értelemben a gondolatmenet nem lesz matematikai, hogy ahhoz túlságosan egyszerű. „Számként” mindig nemnegatív egész számot fogunk érteni. Bővebben…

Üldözési jelenetek

Pihenésképpen nézzünk meg egy közönséges, régi feladványt közelebbről. A probléma eredetileg úgy hangzik, hogy egy egységnyi oldalú szabályos sokszög csúcsaiban ül egy-egy azonos röpképességű sas, és adott jelre mindegyik űzőbe veszi a jobboldali szomszédját. (Hasonló esettel már foglalkoztunk.) Ekkor egy görbe vonalú pályát leírva a sokszög középpontjában találkoznak. Mekkora utat tesznek meg a találkozásig? A kidolgozás hasznos fejszámolás, eredménye

1/(1 + cos α),

ahol α a sokszög oldalai által bezárt szög. A feladatnak abban az általánosításában, melyben a pontok síkbeli elhelyezkedése tetszőleges, de a sebességek továbbra is egyenlő nagyságúak, mutassuk ki, hogy a madarak végül (véges időn belül) egyetlen pontban találkoznak. (Ezzel egyúttal az eredeti feladat homályban hagyott előfeltételezését is igazoljuk.) Bővebben…

A három tudós legendája és valósága

Ha már nem űz a munka kényszere,
Ülhetsz – ilyesmit hinni bölcs mer-e?
Mért áltatod magad hiú reménnyel?
Jön a halál és karonfog: Gyere!

Omar Hajjam (1048? – 1131?) rubaija. Londesz Elek (1868 – 1934) fordítása[1]

(Az alábbiakban érintjük a mohamedán világ történelmének egyes fejezeteit. Ez a történelem szövevényes, hasonlóan a keresztény világ történelméhez. Ha a neveket bonyolultnak találjuk, jussunk el csak az első két személynévig. Annyi ezúttal elég lesz.)

Borges (1899 – 1986) 1952-ben kiadott Otras inquisiciones című tanulmánykötetéről, mely nálunk Újabb nyomozások címmel jelent meg Scholz László fordításában 1999-ben, már beszéltünk.[2] Ennek El enigma de Edward Fitzgerald (Edward Fitzgerald rejtélye) című írása elején három ifjúval találkozunk.[3] Nizam al-Mulk (1018 – 1092), akkori nevén Abu Ali Hasan (ibn Ali Tusi), Hassan-i Sabbah (1050? – 1124) és Omar Hajjam közösen tanulmányozza a Koránt, és bár utóbbi hajlik a szkepticizmusra, ez nem gátolja apológiája kidolgozásában. Mindhárman jeles tudósokká érnek későbbi éveikben, Nizam al-Mulk és Hassan-i Sabbah a hit tudományában, Omar Hajjam a matematikában és az asztronómiában (anélkül hogy hinne a csillagok sorsfordító erejében). Akkor félig játékosan, de örök barátsággal megfogadják, hogy felnőtt éveikben segíteni fogják egymást. Így is lesz, Nizam al-Mulk vezír lesz és állja szavát. Hassan-i Sabbah udvari méltóságot kér és kap, de rajtaveszt, az intrikák szövevényéből örök száműzetéssel segítik ki, amit aztán ő gyilkossággal honorál, míg Omar, a csendes tudós a békés vizsgálódás feltételeivel is beéri. Ez ki is jut neki élete végéig. A két emberöltővel később élt Farid du-Din Attarral (1119? – 1229?), aki éppúgy nishapuri születésű volt, mint Omar Hajjam, már találkoztunk. Tudjuk, hogy Borgesben egy Jókai (1825 – 1904) veszett el, sőt nemcsak tudjuk, már láttuk is, ezúttal a három barát legendáját, mely lényegének, azaz magának a barátságnak és a fogadalomnak, nincs valóságalapja, nem Borges konfabulálta. A legenda széles körben ismert[4], két híres regény is született a motívumaiból. A libanoni Amin Maalouf Szamarkand[5]és a szlovén Vladimir Bartol Alamut[6] című feldolgozása egyaránt megjelent magyarul is. A Keeper (Megtartó) című film alkotó módon még szerelmi szálat is sző a történetbe.[7] A három tudós férfiú csodás elemekkel tarkított életrajzai sok helyen hozzáférhetők, és ha együtt nem is alkottak nagyot, külön-külön mindegyikük nevezetes alakja korának. Ebből az egyetlen szempontból foglalkozunk velük kicsit közelebbről is. Bővebben…

A munkanélküliség világa

1 Euklides

Eukleides (sz. Kr.e. 300?)

Nem célom korunk zord fegyelmező eszközén, a munkanélküliségen gúnyolódni, inkább az Ezeregyéjszaka bűvös hangulatát, a soha ki nem ürülő gyémántos medencéket és völgyeket, mindannyiunk álmát: a munkavégzést nem igénylő világot szeretném felidézni. Persze ez egy erősen leegyszerűsített, háromdimenziós, euklidesi világ lesz. Bonyolultabb univerzumokat is elképzelhetünk, hasonló következtetésekkel, de azokra nem terjed ki a következő rövid, egyszerű eszmefuttatás.

 

Bővebben…

0

The quality of mercy is not straind,
It droppeth as the gentle rain from heaven
Upon the place beneath: it is twice blest;
It blesseth him that gives and him that takes…
[1]

Shakespeare (1564 – 1616): A velencei kalmár, IV/1

A kegyelem lényege nem a kényszer,
Úgy fakad, mint csöndes eső a mennyből
A lenti földre, s kétszeresen áldott:
Megáldja azt, ki adja, s azt, ki kapja.
[2]

Vas István (1910 – 1991) fordítása

3 halasz

Vu Zhen (1280 – 1354): Halász (1350 körül)

A legendák ködébe vész a kínai kultúra Kr.e. XII. évezredbeli ősatyja, Fu-hsi, aki a kínaiakat olyan alapvető mesterségekre tanította, mint például a halászat vagy a betűvetés. A legendák köde korántsem megszépítő, amint azt képünkön látjuk.

1 Fu

A mély jelképekben bővelkedő trigramokat a kezében tartó bölcset látjuk.[3] A jeleket jól ismerjük Dél-Korea zászlajáról, a Taegukgiról (magyarul a taeguk jin-jang, a gi zászló). Itt a nyolcból négyet látunk, melyek a Napot, a Holdat, az eget és a Földet szimbolizálják (szerteágazó egyéb jelentéstartalmakkal).

2 zaszlo

Bővebben…

Pár szó a legegyszerűbb forgásról

Ha egy test mozgását megpróbáljuk leírni, elő kell vegyük az összes részecskéjét, fel kell tárnunk az ezekre ható erőket (melyek a kölcsönhatásaikból is származhatnak), és fel kell írjuk mindegyikre (sőt, meg is kell oldanunk) a Newton-féle mozgásegyenleteket, a híres F = ma-t, ráadásul nem külön-külön, hanem feltehetőleg egymástól szövevényes függésben. Ha figyelembe vesszük a kiinduló helyzetét és a részecskék kezdeti sebességét, már készen is vagyunk. Azonban, ha a test merev, vagyis a mozgás során bármely két pontja távolsága változatlan, ez a rengeteg egyenletből álló rendszer legalább a méretében leegyszerűsödik. Emlékeztetek rá, hogy ebben a speciális esetben a test mozgását leíró egyenletek száma hatra zsugorodik, ami hallatlan előny minden olyan test esetén, amelynek több mint két részecskéje van (részecskeként 3-3 skaláregyenletünk volna az általános esetben). A hat egyenletből három a megszólalásig hasonlít az előbb említett II. axiómára, csak a betűk jelentése módosul. Az F = d(mv)/dt-ben F a testre ható összes erő eredője, v a tömegközéppont sebessége, m a test teljes tömege. Igen gyakori jelenség merev testek körében, hogy tömegük állandó, és ilyenképpen kiemelhető a differenciálás elé: F = ma. A további három egyenletet összefoglaló vektoregyenlet: M = d(Θω)/dt. Itt M a tömegközéppontra redukált erőrendszerben szereplő nyomaték, mely az egyes erők nyomatékainak és esetleges erőpároknak az eredője, ω a szögsebesség.

Ám Θ jellemzően nem emelhető ki a deriválás elé, lévén maga is változó mennyiség a test mozgása során. Ha valamilyen speciális okból állandó, például elemi tanulmányaink során forgástestek esetén, akkor természetesen kiemelhető, és abban a ritka esetben M = Θβ-t kapunk, ahol β a szöggyorsulás…

De itt egy pillanatra vegyük számba az idáig elkövetett visszaéléseket. Bővebben…

Kockázatos kockázatszámolás

massys_penzvalto_es_felesege 1514

Pénzváltók és feleségeik: Massys (1460 – 1530) és Reymerswaele (1490? – 1546?) festményei

Furcsamód az is megesik, hogy a tudós gondolkodás elszunnyad egy pillanatra. Nézzünk erre egy matematikailag nagyon egyszerű, bár kétségkívül közepesen hosszú példát a pénzügy világából, ahol az eljárás jól ismert. Bővebben…

Transzcendens etüd

Képzeljük el, hogy vannak különféle gépeink, melyek úgy működnek, hogy számokat adagolunk beléjük, a gépek pedig működési mechanizmusuk szerint azon fáradoznak, hogy 0-t hozzanak ki a betáplált számból.
Az első gép legyen a racionalitásellenőr. Működése egyszerű: a bekerült számot szorozhatja egész számmal, és a szorzathoz hozzáadhat egy egészet. Ha képes 0-t előállítani ilyen módon, a betáplált szám racionális volt. Ha nem képes, akkor nem.
A második gép tetszőleges pozitív hatványok egésszereseit képezheti, és ezeket összeadhatja. Ha sikerrel jár, akkor a beadagolt szám algebrai volt, különben transzcendens. A “transzendens szám” kifejezést a mai értelemben elsőként Leibniz (1646 – 1716) alkalmazta 1682-ben. Bővebben…

Júlia

Amikor Gaston Julia (1893 – 1978) kiötlötte a róla elnevezett halmazokat, felsóhajtott: eljön a kor, amikor láthatják is majd őket…

Julia5

Tovább! Tovább! Tovább!

Julia-halmaz

Charpit módszere

Nemlineáris parciális differenciálegyenletek Cauchy-feladatainak megoldására Paul Charpit (…† 1784) fejlesztette ki a karakterisztikus sávok szép elméletét, melynek ismertetése és egy rövid bizonyítás itt látható:

Bővebben…

NIM

Van egy asztallap, rajta valahány kupac babszem vagy kavics (halmazaritmetikai jártasságunkat elmélyítendő). Ketten játszanak. Felváltva egy-egy nemüres kupacot kiválasztanak, abból elvesznek annyi szemet, amennyit akarnak, de legalább egyet. Az nyer, aki lecsupaszítja az asztallapot.

1901-ben Charles L. Bouton (1869 – 1922) amerikai matematikus kidolgozta a stratégiáját.

Itt látható egy játszófájl (Excel).

Bővebben…

Egy “pénzügyi” lehetőségről

A következő lehetőséget kínálják fel nekünk. Egyenletesen véletlenül kisorsolnak egy számot 0 és 1 között, és akkor választás előtt állunk. Vagy elfogadjuk, azaz azt mondjuk, kérünk annyi dollárt, amennyit kihozott a sorsolás, vagy továbbmegyünk, azaz új egyenletes sorsolást kérünk. Ennek eredményétől függnek a további lehetőségeink: vagy kisebb szám jön ki, mint előbb, és akkor azt kötelesek vagyunk elfogadni, vagy nem, és akkor dönthetünk, elfogadjuk-e vagy megint továbbmegyünk, s.í.t. Mennyit ér a felkínált lehetőség?

Bővebben…