Matekozós kategória bejegyzései

Elemi példák nem elszigetelt egyensúlyi helyzetekre

Aligha tagadhatjuk, hogy minden elmélet alapvető célja a tovább már nem egyszerűsíthető alapelemei lehetséges teljes egyszerűsítése és számának csökkentése.

Einstein (1879 – 1955): Az elméleti fizika módszeréről[1], 1933

Emlékszem Einstein egy megjegyzésére is, ami nyilvánvalóan a zenére is alkalmazható. Lényegében azt mondta, minden legyen a lehető legegyszerűbb, de ne annál egyszerűbb!

Sessions (1896 – 1985): Hogy jut egy „bonyolult” szerző odáig[2]. New York Times, 1950

Közönséges differenciálegyenlet-rendszerek által leírt dinamikai rendszerek elszigetelt egyensúlyi helyzeteinek lokális vizsgálata azokban az alapesetekben, amikor a kellően sima jobboldal linearizált része sajátértékeinek valós részei nem nullák (van, aki ezt hívja hiperbolikus esetnek), kivizsgáltnak tekinthető.[3] Ha itt némelyik szó jelentése esetleg már elhomályosult, kisebb kattintásmunka ezt a ködöt eloszlathatja. Innen több természetes irányba elindulhatunk. Mai alkalommal az „elszigetelt” megszorítástól szabadulunk meg. Közelebbről: feltesszük, hogy a jobboldal zérushelyei (az egyszerűség kedvéért egyenes) vonalon helyezkednek el, és hogy érdekesebb legyen, ezek egy félegyenes (vagy legalább egy szakasz) mentén taszítók, másik csoportjuk ugyanígy vonzó, és a két halmazt egy degenerált egyensúlyi helyzet választja el egymástól. Bővebben…

Reklámok

További apró palástolások

Egy kocka felületének, jól ismert módon, 11 síkba fejtett hálózata van, amennyiben csak az érdekel bennünket, egybevág-e két alakzat vagy sem. Ezeket azonosnak tekintjük a számlálás során. Az ábrákat sok helyen bemutatják, sőt, láttató, szemet gyönyörködtető animációval kísérik.[1] A bizonyítás már ritkább, a fellelhetők esetszétválasztásokon alapulnak, vagy a kockalapok egymáshoz viszonyított helyzetét téve a gondolatmenet középpontjába[2], vagy a hálózatban mint a lapközepek gráfjában leghosszabb utak hosszúságát (2, 3 vagy 4)[3]. Bővebben…

Felületek kifejtéséről röviden

Amikor valamely felület kifejtéséről beszélünk, rendszerint egy kúp vagy henger alakú csokoládét becsomagoló gépet látunk lelki szemeinkkel, melyre egy golyókat csomagoló gép irigykedve tekint, hiszen neki csak gyűréssel sikerül teljesítenie küldetését. A kifejtés a megajándékozott gyermek művelete a csokoládé megtisztítására.
Magát a fogalmat Leonhard Euler (1707 – 1783) vezette be a köztudatba.[1] Az itt következőkben semmi meglepőt nem fogunk találni. Ügyesen választott fogalmak magukért beszélnek. Kötelességünk azonban a szabatosságra törekvő leírás kisstílű, de megkerülhetetlen feladata. Nézzük a részleteket! Bővebben…

Függelék: N- és M-feladat

N-feladat: adott egy hegyesszög két szára, e és f. Adott két különböző P és Q pont a szögtartomány belsejében. Szerkesztendő ABCD törtvonal a következők ismeretében:

  • B és D e-n helyezkedik el;
  • A és C f-en;
  • AB = BC;
  • AB || CD
  • P rajta van AB-n, Q CD-n.


Bővebben…

Adott egy hegyesszögtartomány, belsejében két különböző pont…

Feladat: adott egy hegyesszög két szára, e és f. Adott két különböző P és Q pont a szögtartomány belsejében. Szerkesztendő ABC háromszög a következők ismeretében:

  • C e-n helyezkedik el;
  • A és B f-en;
  • CA = CB;
  • P rajta van CA-n, Q CB-n.

Bővebben…

A léggömb elrepül

– Kinek viszed? – kérdeztem tőle.
– A fiamnak. Beteg. Az orvos léggömböt rendelt neki.
– Elmosolyodtam.
– Mit mosolyogsz? – mondta indulatosan. – Nekem már csak ebben a semminél is könnyebb metángázban, ebben a ragadós kollodium hártyában van a reménységem.

Kosztolányi (1885 – 1936): A léggömb elrepül… (1911)[1]

A kollódium vagy gyapotmáz teljesen alkalmatlan léggömb-alapanyagnak, ráadásul veszedelmesen gyúlékony[2], akárcsak a CH4, a metán, amit Kosztolányi költő barátja a léggömböt feltöltő gázként említ. Nem alaptalanul! Csak a háborús idők kényszere vezette rá az Egyesült Államokat a héliumgáz nagyipari elkülönítésére[3], előtte a légballonokban, például Ferdinand Adolf Heinrich August von Zeppelin gróf (1838 – 1917) találmányában, alkalmaztak metánt is.[4]
Ezúttal egy szabadon engedett, héliummal töltött, gömb alakúnak feltételezett léggömb sorsát firtatjuk. Ha anyaga rendkívül feszes, akkor mindaddig emelkedik, amíg a belső és külső sűrűség meg nem egyezik, és ott egyensúlyi helyzetet ér el (akörül lengőmozgást végez). Ha az anyag kevésbé feszes, akkor a kipukkadás veszélye fenyegeti. Ennek feltételeit vizsgáljuk meg közelebbről. Bővebben…

Kis körnégyszögesítési praktikum

Állítás: legyen adott egy C2 síkgörbe, legyen továbbá f C1-beli. Tételezzük fel, hogy t + f(s)n merőleges egy állandó v nemzérus vektorra* (a szokásos jelölésekkel: t az érintő egységvektor, n a normális egységvektor, s az ívhosszparaméter). Tegyük fel továbbá, hogy a görbület zérushelyei nem torlódnak. Ekkor a görbe legalább szakaszonként elhelyezhető egy René Descartes (1596 – 1650)-féle derékszögű koordinátarendszerben úgy, hogy valamely valós m állandóra

teljesüljön, és ha van olyan pontja a görbének, melyben az érintő merőleges v-re, akkor úgy is, hogy

*) A síkban egyenértékűen úgy is mondhatnánk, állandó irányú.

Bővebben…

Izolda anyja és a tudós nők

liebe ist ein alsô saelic dinc,
ein alsô saeleclîch gerinc,
daz nieman âne ir lere
noch tugende hât noch ere.

Gottfried von Strassburg († 1215?):
Tristan und Isolt (1210?)[1]

Oly boldogság a szerelem,
Oly áldásos igyekezet,
Soha senki el nem ér
Nélküle becsületet és erényt.

Trisztán és Izolda

Gottfried von Strassburg életbölcsességekkel gazdagon díszített, nagyszabású szerelmi és hőskölteményének ősforrásait vannak, akik perzsa földön kutatják, de a keltisztikusok pozíciói erősebbek. Szerintük a kelta világ nyugati peremén, vagy Walesben, vagy a cselekmény valamely főbb helyszínén (Írországban vagy Cornwallban) keresendő a történet magva.

Cornwall

Mindenesetre valószínű, hogy a költő ismerte a XII. században alkotó normann Thomas d’Angleterre anglo-normann nyelven 1170-75 között írt Tristranját[2], mely Európa-szerte nagy hatást gyakorolt[3]. Műve nem maradt fenn egészben, de a tragikus befejezés a feldolgozások láncolatán át gondolatilag szinte változatlanul megy át Wagner (1813 – 1883) 1859-re befejezett Trisztán és Izoldában (WWV90) Izolda szerelmi halálába:

”Amis Tristran, quant mort vus vei,
Par raisun vivre puis ne dei.
Mort estes pur la meie amur,
e jo muer, amis, de tendrur,
Quant jo a tens ne poi venir
Pur vos e vostre mal guarir.

Se jo i fuisse a tens venue,
Vie vos eüsse rendue,
E parlé dulcement a vos
De l’amour qui fud entre nos…”

„Hogy halva látlak, Trisztanom,
Nem élhetek tovább, tudom.
Megölt értem a szerelem,
Engem pedig a gyötrelem,
Hogy nem jöhettem hamarabb
Meggyógyítani bajodat;

Ha partot érhetek elébb,
Új életet öntök beléd;
És gyöngéden beszélhetek
Kettőnk szerelméről neked…”

Képes Júlia fordítása (2001)[4]

Trisztán, Izolda és a bájital az 1330 és 43 között készült Libro de buen amorban (A jó szerelem könyve)

A szintén normann Béroul (1160? – 1213?) Roman de Tristanja (Trisztán regéje) már minden bizonnyal erre a műre épít, de a feltehetően szintén ebből (is) táplálkozó Gottfried von Strassburg-féle gigantikus feldolgozás is óriási népszerűségre tett szert. Forrásai sokfélék, hiszen vannak, akik a költemény utópikus vallásosságába még a látomásairól híres Bingeni Szent Hildegárd apátnő (1098 – 1179) írásait is beleérzik.[5] Őrzőhelyéről, a Müncheni Állami Könyvtárról Müncheni kódexnek is nevezett, az 1250 körül Strasbourgban írt példány a ma ismert legősibb fennmaradt változat, immár Ulrich von Türheim (1195? – 1250?) befejezésével. [6] Ezen az ősváltozaton alapulnak azok a kiadások, amelyekből Wagner is merített.[7]
Judith Ann Peraino Gottfried von Strassburg művében maszkulin vonásokra figyel fel[8]; kétségtelen, hogy művében Trisztán hősiessége sokkal központibb szerephez jut Izolda csodálatos gyógyító képességeinél, sárkányt is öl, szemben Wagner művével, melyben vitathatatlan Izolda elsődlegessége: mindvégig ő az aktív, a küzdő, harcoló fél, és Trisztán csak a III. felvonásban jut hosszan kibontakozó szerephez, de haldoklása közben. Az I. felvonásban is csak legénysége és fegyverhordozója, Kurwenal védi a bájital vétele előtt is révült hős érdekeit.  Bővebben…

Mese a négyzetszámokról

A napokban kettőhatványok első jegyeit vizsgáltuk. Miért is ne tehetnénk ezt meg ugyanígy négyzetszámokkal? – gondolhatnánk. Hiszen nem kell egyebet tenni a kiinduláshoz, mint hogy a 2N tízes számrendszerbeli alakjának első jegyét megadó képletben 2-t és N-et kicseréljük, és így N2 első jegyének formulája a következő: [10{2 lg N}]. Kétségkívül mást jelent a [0, 1) intervallumból feltekert egységkörre egyenlő lépésközökben pontokat felvinni (lásd a múltkori eljárást), mint egy ennél bonyolultabb, mondhatni „nemlineáris” módon, de ne adjuk fel ennyire hamar. A feladást odázzuk el! De hogy egyáltalán legyen mit feladni, a „vigyázat, csalok!” figyelmeztetést nem teszem ki menet közben. Csak a „nagy leleplezés” idején, a rövid gondolatmenet végén. Bővebben…

Kettő hatványai, előlről

Az, hogy 2 hatványai (pl. a 10-es számrendszerben) milyen jegyre végződnek, érdektelenségig egyszerű. Egy fokkal érdekesebb, hogy mit mondhatunk a kezdő számjegyekről. (A probléma és megoldása természetesen szintén ősi.) Bővebben…

Önevolvens

Induljunk ki a [0, 1] intervallumon értelmezett olyan görbéből, mely korlátos, a [0,1)-en kétszer folytonosan deriválható (C2), konvex, a 0-ban a deriváltja 0, az 1-ben a végtelenhez tart. Az ábrán egy ilyen görbét látunk.

ellipse_black

Mindenekelőtt mutassuk meg, hogy a görbe rektifikálható, azaz létezik ívhossza. Ha a szokásos ívhosszformulát tekintjük:

1-ivhossz

elsőre kényelmetlenül érinthet bennünket, hogy a deriváltfüggvény nem korlátos. Ezért az integrálást csak addig az x0-ig végezzük, amíg a derivált értéke éppen eléri az 1-et, a görbe maradék szakaszára pedig annak inverzének ívhosszát számítjuk ki, mely nyilvánvalóan létezik és ugyanakkora.
Fejtsük le a görbét a legfelső pontjából kiindulva, más szóval minden érintőjére mérjük rá a haladási iránnyal ellentétesen az addig megtett ív hosszát, vagy, hagyományos elnevezéssel, képezzük a görbe evolvensét. A kapott görbének az első görbe s0 = 0 ívparaméteréhez tartozó pontjában az érintő vízszintes, az x-tengelybe a görbeszakasz függőlegesen fut be, és a görbe simasági tulajdonságai megmaradnak. Minden együttáll, hogy az eljárást folytassuk, ám a befutási pontból. Az eljárást a továbbiakban úgy ismételgetjük, hogy mindig a befutási, azaz a 90° meredekségű pontból indítjuk az új lefejtést.

2-lefejtes Bővebben…

Kis pihenő

Célunk egy páratlan szám prímtényezős felbontásában a 3 kitevője és a fennmaradó, 3-at nem tartalmazó tényező felhasználásával megadni, mekkora a 2 kitevője a kiindulásul vett páratlan számnál 1-gyel kisebb számban. Azonnal adható egy eljárás: szorozzuk össze a 3-at tartalmazó és a 3-at nem tartalmazó tényezőket, a kapott számból vonjunk le 1-et, és állapítsuk meg az így keletkezett szám prímtényezős felbontásában 2 kitevőjét. Esetenként azonban ez túlságosan fáradalmas, például ha arra volnánk kíváncsiak, 3-nak a 1234567891098765432-edik hatványából 1-et kivonva mi lesz 2 kitevője a kapott számban.[1] Ilyenkor hasznos lehet egy „szabály”, az általános iskolában tanult oszthatósági szabályok analógiájára, ami lehetővé teszi az eredmény megadását a konkrét számolások elvégzése nélkül is. Megkérdőjelezi a probléma esetleges megoldásának hasznát az is, hogy vajon miért lenne lényegesen könnyebb egy prímtényezős felbontásban 3 kitevőjét megtalálni, mint egy 1-gyel kisebb számban 2-ét. Erre az a válasz adható, hogy egyes esetekben a természetes számnak éppen olyan alakjával dolgozunk, melyben a 3-at tartalmazó tényező külön rendelkezésre áll. De az eddigi természetes ellenvetéseinkre adott válaszaink nem tudják feledtetni, hogy a problémának ez a felvezetése nem matematikai, hiszen szerepel benne egy idézőjeles szó. A továbbiakban azonban legalább abban az értelemben matematikai lesz a fejtegetésünk, hogy bizonyításokkal állunk jót a kijelentéseinkért. Abban a magasabb értelemben a gondolatmenet nem lesz matematikai, hogy ahhoz túlságosan egyszerű. „Számként” mindig nemnegatív egész számot fogunk érteni. Bővebben…

Üldözési jelenetek

Pihenésképpen nézzünk meg egy közönséges, régi feladványt közelebbről. A probléma eredetileg úgy hangzik, hogy egy egységnyi oldalú szabályos sokszög csúcsaiban ül egy-egy azonos röpképességű sas, és adott jelre mindegyik űzőbe veszi a jobboldali szomszédját. (Hasonló esettel már foglalkoztunk.) Ekkor egy görbe vonalú pályát leírva a sokszög középpontjában találkoznak. Mekkora utat tesznek meg a találkozásig? A kidolgozás hasznos fejszámolás, eredménye

1/(1 + cos α),

ahol α a sokszög oldalai által bezárt szög. A feladatnak abban az általánosításában, melyben a pontok síkbeli elhelyezkedése tetszőleges, de a sebességek továbbra is egyenlő nagyságúak, mutassuk ki, hogy a madarak végül (véges időn belül) egyetlen pontban találkoznak. (Ezzel egyúttal az eredeti feladat homályban hagyott előfeltételezését is igazoljuk.) Bővebben…

A három tudós legendája és valósága

Ha már nem űz a munka kényszere,
Ülhetsz – ilyesmit hinni bölcs mer-e?
Mért áltatod magad hiú reménnyel?
Jön a halál és karonfog: Gyere!

Omar Hajjam (1048? – 1131?) rubaija.
Londesz Elek (1868 – 1934) fordítása[1]

(Az alábbiakban érintjük a mohamedán világ történelmének egyes fejezeteit. Ez a történelem szövevényes, hasonlóan a keresztény világ történelméhez. Ha a neveket bonyolultnak találjuk, jussunk el csak az első két személynévig. Annyi ezúttal elég lesz.)

Borges (1899 – 1986) 1952-ben kiadott Otras inquisiciones című tanulmánykötetéről, mely nálunk Újabb nyomozások címmel jelent meg Scholz László fordításában 1999-ben, már beszéltünk.[2] Ennek El enigma de Edward Fitzgerald (Edward Fitzgerald rejtélye) című írása elején három ifjúval találkozunk.[3] Nizam al-Mulk (1018 – 1092), akkori nevén Abu Ali Hasan (ibn Ali Tusi), Hassan-i Sabbah (1050? – 1124) és Omar Hajjam közösen tanulmányozza a Koránt, és bár utóbbi hajlik a szkepticizmusra, ez nem gátolja apológiája kidolgozásában. Mindhárman jeles tudósokká érnek későbbi éveikben, Nizam al-Mulk és Hassan-i Sabbah a hit tudományában, Omar Hajjam a matematikában és az asztronómiában (anélkül, hogy hinne a csillagok sorsfordító erejében). Akkor félig játékosan, de örök barátsággal megfogadják, hogy felnőtt éveikben segíteni fogják egymást. Így is lesz, Nizam al-Mulk vezír lesz és állja szavát. Hassan-i Sabbah udvari méltóságot kér és kap, de rajtaveszt, az intrikák szövevényéből örök száműzetéssel segítik ki, amit aztán ő gyilkossággal honorál, míg Omar, a csendes tudós a békés vizsgálódás feltételeivel is beéri. Ez ki is jut neki élete végéig. A két emberöltővel később élt Farid du-Din Attarral (1119? – 1229?), aki éppúgy nishapuri születésű volt, mint Omar Hajjam, már találkoztunk. Tudjuk, hogy Borgesben egy Jókai (1825 – 1904) veszett el, sőt nemcsak tudjuk, már láttuk is, ezúttal a három barát legendáját, mely lényegének, azaz magának a barátságnak és a fogadalomnak, nincs valóságalapja, nem Borges konfabulálta. A legenda széles körben ismert[4], két híres regény is született a motívumaiból. A libanoni Amin Maalouf Szamarkand[5]és a szlovén Vladimir Bartol Alamut[6] című feldolgozása egyaránt megjelent magyarul is. A Keeper (Megtartó) című film alkotó módon még szerelmi szálat is sző a történetbe.[7] A három tudós férfiú csodás elemekkel tarkított életrajzai sok helyen hozzáférhetők, és ha együtt nem is alkottak nagyot, külön-külön mindegyikük nevezetes alakja korának. Ebből az egyetlen szempontból foglalkozunk velük kicsit közelebbről is. Bővebben…

A munkanélküliség világa

1 Euklides

Eukleides (sz. Kr.e. 300?)

Nem célom korunk zord fegyelmező eszközén, a munkanélküliségen gúnyolódni, inkább az Ezeregyéjszaka bűvös hangulatát, a soha ki nem ürülő gyémántos medencéket és völgyeket, mindannyiunk álmát: a munkavégzést nem igénylő világot szeretném felidézni. Persze ez egy erősen leegyszerűsített, háromdimenziós, eukleidesi világ lesz. Bonyolultabb univerzumokat is elképzelhetünk, hasonló következtetésekkel, de azokra nem terjed ki a következő rövid, egyszerű eszmefuttatás.

 

Bővebben…