Felületek kifejtéséről röviden

Amikor valamely felület kifejtéséről beszélünk, rendszerint egy kúp vagy henger alakú csokoládét becsomagoló gépet látunk lelki szemeinkkel, melyre egy golyókat csomagoló gép irigykedve tekint, hiszen neki csak gyűréssel sikerül teljesítenie küldetését. A kifejtés a megajándékozott gyermek művelete a csokoládé megtisztítására.
Magát a fogalmat Leonhard Euler (1707 – 1783) vezette be a köztudatba.[1] Az itt következőkben semmi meglepőt nem fogunk találni. Ügyesen választott fogalmak magukért beszélnek. Kötelességünk azonban a szabatosságra törekvő leírás kisstílű, de megkerülhetetlen feladata. Nézzük a részleteket!
A háromdimenziós térben egy sík azokból az r pontokból (vektorok végpontjaiból) áll, melyekre valamely előre rögzített n egységvektorra (a normálvektorra) és r0 helyvektorra n(rr0) = 0. (Természetesen van abban valami nevetséges, hogy nem tételezem adottnak a sík fogalmát, de a vektorokét és azok skaláris szorzását igen. Ilyen következetlenségekkel azonban minden olyan rövid ismertetőnek számolnia kell, mely nem korrekt tankönyv formájában fejti ki mondanivalóját.) Ha most r0 és n változik, értelemszerűen egy síksereghez jutunk. Ha r0 és n változása folytonos, úgy tekinthetjük, hogy (a továbbiakban t-vel jelölt) paraméterüknek megfelelően egyetlen sík elmozgatásáról van szó. Teljes általánosságban ugyanis bármely két sík pontjai egymásnak folytonosan megfeleltethetők, és ilyenképpen nemcsak r0 és n függ t-től, de egy-egy síkbeli r pont is r(t) pályát ír le. Az elmozgatások sokféleségéből bennünket kizárólag egy fontos típus foglalkoztat, az egybevágósági transzformáció vagy merevtestszerű elmozgatás, melynek során két pont távolsága megőrződik. (Nem, háromszögek iránytartása fel sem merül: térbe helyezett síkokon ez a fogalom nem is értelmezhető.) Tételezzük fel, hogy r0(t) és n(t) folytonosan deriválható, továbbá tegyük fel, hogy dn/dt ≠ 0. (Ez utóbbival többek között kizártuk a síkok párhuzamosságát.) Ekkor annak a térrésznek a pontjaiban, melyet a sík a mozgása során súrol, felvehető a normálvektorokból álló mező, azaz melynek vektorai az azon a ponton áthaladó síkokra merőlegesek. (Egy-egy ilyen pontból vagy a sík visszatérése, vagy mozgása szingularitása folytán több ilyen normálvektor is kiindulhat.) Ha veszünk egy nemzérus vektort, és a vektormezőből egy rá és erre a vektorra merőleges folytonos vektormezőt képezünk keresztszorzással, akkor ezt fogjuk fel egy közönséges differenciálegyenlet-rendszer jobboldalaként. Ez a jobboldal helyenként szinguláris lehet a sík mozgásától vagy attól függően, hogy a kiválasztott vektor éppen párhuzamos-e az adott pontbeli normálissal. Azonban a folytonossági feltétel miatt ezek a pontok nullmértékűek a térben. (Újabb nagyvonalú játék a szavakkal…) A megoldásgörbék olyanok, hogy pontjaiban a síksereg aktuális tagja érinti a görbét. A dn/dt ≠ 0 és a simasági feltételek biztosítják, hogy a síksereg végtelen tagja szerepelni fog egy kiválasztott v megoldásgörbe adott ívének pontjaiban. Ennek a kisebb konstrukciónak az az értelme, hogy míg az r0(t)-re felfűzött síksereg normálisai és r0(t) iránya (deriváltja) között nincs kapcsolat, így viszont r0(t)-t olyan p(s)-sel helyettesíthettük (a simasági feltételek miatt v rektifikálható, azaz van ívhossza, így paraméteréül választhatjuk az s ívhosszparamétert), melynek t érintővektora immár merőleges az adott pontbeli síkra. Ezt a p-t direktrixnek hívjuk.
A burkolók általános elméletének megfelelően Azt a felületet, melyet a síksereg burkol, azaz amely minden pontjában érintkezik a síksereg valamely tagjával[2], úgy kapjuk, hogy a leíró s paraméter szerint deriváljuk a síksereget – kihasználva, hogy np’ = 0 –, és a paramétert elimináljuk a következő egyenletrendszerből (vagy megtartjuk paraméternek):

n[rp(s)] = 0
n’[rp(s)] = 0.

A direktrix pontjaiban mindkét egyenlet teljesül, vagyis, reményeinket beigazolóan, a direktrix benne fut a burkolt felületben. Másfelől, |n| = 1 miatt, n2’ = 2 n n’ = 0. Így az n’≠ 0 feltétel miatt n nem lehet párhuzamos n’-vel. Ennek megfelelően az r = p(s) + n × n’u egyenlet egyenest ír le, mely mindkét egyenletet kielégíti. Így a burkolt felület a direktrix pontjain átmenő, n × n’ irányú egyenesekből (az úgynevezett alkotókból) áll, és egyenlete r(s, u) = p(s) + n(s) × n’(s)u. Vizsgáljuk meg ennek a (sima) felületnek az m0 normál-egységvektorát!

rs = p’+ n × n”u
ru = n × n
m = rs × ru = [np’ – (n nn”)u]n
m0 = n.

Az eredménynek több tanulsága is van. A harmadik egyenletből leolvasható, hogy minden erőfeszítésünk ellenére sem tudjuk teljesen kiiktatni a szingularitásokat: adott s-hez, feltéve, hogy az (n nn”) vegyesszorzat nem 0, mindig találunk olyan u-t, melyre m = 0. Más esetekben azonban az m0 normál-egységvektor n-nel egyenlő, azaz a burkoló sík az alkotó mentén az egész burkolt felületet érinti.
A tér bármely két síkját átviszi egymásba egyetlen elemi egybevágósági transzformáció, azaz eltolás vagy forgatás. Ha a két sík párhuzamos egymással, akkor egy olyan eltolás, melynek iránya nem párhuzamos a síkokkal, ha metszik egymást, akkor a metszésvonal körüli valamely elforgatás. A kifejtés mechanizmusának elképzeléséhez azonban nem elegendő végállapotokra szorítkoznunk, mintegy folyamatában kell vizsgálnunk az érintősík mozgását. Jelöljünk ki a direktrix egy szakaszán egy minden határon túl finomodó felosztássorozatot (azaz bármely két szomszédos kijelölt pont közti ív hossza tartson a 0-ba). A pontok helyezkedjenek el olyan sűrűen, hogy bennük két egymást követő normálvektor ne legyen párhuzamos (ez az n’≠ 0 feltétel miatt megtehető). Két szomszédos érintősíkot így egy elforgatás visz át egymásba. Legyen a két szomszédos pont pi, i= 1, 2, és az indexeknek megfelelően jelöljük a felület ottani adatait is. Ha most az rp1 vektort R-rel jelöljük, a metszésvonal egyenletrendszere:

Mondjuk azt, hogy egy egyenessorozat akkor konvergál egy határegyenesbe, ha a sorozat tagjai és a határegyenes közti 1) normál transzverzális hossza (azaz a távolságuk) és 2) az általuk bezárt kisebb szög egyaránt a 0-ba tart. Mutassuk ki, hogy ebben az értelemben az így konstruált pillanatnyi forgástengelyek az őket közrefogó pontok által megközelített pontban vont alkotóba tartanak!
Ennek céljából 1) keressük meg a metszésvonalnak és a két síkra merőleges, p1-en átmenő síknak a döféspontját, melyet p1-hez viszonyítva visszaélésszerűen szintén R-rel jelölünk. Az előállt kiegészített egyenletrendszer:

Szerencsénkre egy 3×3-as mátrix inverzének szemléletes jelentést adhatunk. Ha a sorvektorok a, b, c, akkor az inverz oszlopai az úgynevezett duálisok, b × c, c × a, a × b, elosztva az a, b, c által kifeszített paralelepipedon (a b c) térfogatával. Szerencse a szerencsében, hogy esetünkben ni egységvektor, az invertálandó együtthatómátrix harmadik sora pedig merőleges az első kettőre. Ráadásul az inhomogenitásnak csak a második komponense nem (feltétlenül) 0, így elegendő az inverz mátrix második oszlopával foglalkoznunk. Innentől azonban szerény „pechszéria” vár ránk. A direktrixen felvett pontsorozat összeszűkítésével ugyanis az együtthatómátrix determinánsa rohamosan a 0-ba tart. A három sorvektor által kifeszített paralelepipedon egyrészt összeszűkül, másrészt az egyik oldalhosszúsága is a 0-ba tart.

az együtthatómátrix invertálása

Ábránkon valamelyik piros (egyenes) nyíl ábrázolja a nekünk kellő második oszlopot attól függően, kintről vagy bentről nézzük. Hossza |ni × (n1× n2)| = |n1× n2| = |n1× (n1 + n1’Δs + o(Δs)| = |n1’|Δs + o(Δs), ahol kihasználtuk, hogy n egységvektor, így deriváltja merőleges rá. Az együtthatómátrix determinánsa az ni egységvektorok által kifeszített paralelogramma területének négyzete: |n1’|2Δs2 + o(Δs3). Ez alapján az inverz mátrix nekünk kellő második oszlopának hossza:

(Az ordót nem zavarná, ha az indexet 1-ről 2-re cserélnénk.)
Legyen (T, N, B) a direktrix kísérő triédere. Ekkor az inhomogenitás második komponense: – n2[T2Δs + N2Δs2/2 + o(Δs2)] = – n2 N2 Δs2/2 + o(Δs2). Ennek megfelelően tehát R hossza

Ha tehát Δs a nullába tart, akkor a pillanatnyi forgástengely és az alkotó egy-egy pontjának távolsága (ezzel együtt az ennél nem hosszabb normál transzverzális hossza) is a 0-ba tart. 2) A mellékszámítások része volt, hogy az n× n2 keresztszorzat, vagyis a pillanatnyi forgástengely iránya elsőrendű közelítésben n× n1’ irányával, azaz a direktrix P1-beli v1 irányával egyezik meg. Így tehát a felosztás minden határon túli finomításával a pillanatnyi forgástengelyek az alkotókba tartanak.
Maga a kifejtés ezek után úgy írható le, hogy egy kiinduló érintősíkon felvesszük az alkotót, majd a legördítése során az aktuális újabb és újabb alkotót. Mivel ezek az alkotók kitöltik az érintett felületrészt, a végállapotban a sík tartalmazni fogja a felületrész valamennyi pontjának képét úgy, hogy közben, egybevágósági transzformációról lévén szó, egy-egy ívelem hossza sem változott (vagyis ha a felületen egy pontsorozat konvergens, akkor az egymás utáni pontok távolságának és képeinek távolságának hányadosa 1-be tart). Ezt fejezzük ki úgy, hogy a kifejtés során a palást se nem nyúlik, se nem zsugorodik, se nem szakad. Ha egy tetszőleges, sima felület egy görbéje mentén végiggördítjük az érintősíkot, és az érintett görbe pontjainak képeiként előállt síkgörbét vizsgáljuk, annak hossza is ugyanígy egyenlő lesz az eredeti felületi görbéével. Hétköznapos műszaki tapasztalat egy drót fel-le csévélgetése. Csakhogy itt az egész felület leképezéséhez nem egyetlen (bármely) érintősík végiggördítésére lenne szükség, hanem végtelen sokéra.
Az „igazi” kérdés persze az, hogyan tudjuk eldönteni egy adott felületről, kifejthető-e vagy sem. Ehhez a (simának feltételezett) felület második alapformájának vizsgálatára lesz szükségünk. Legyen bij = m0rij, ahol m0 a felület normális egységvektora, az rij-k a felületet leíró vektor második parciális deriváltjai. Adott felületi pontban normálmetszetnek nevezzük a felület ennek a pontján keresztül haladó olyan síkgörbéit, melyeket m0-lal párhuzamos síkok metszenek ki. (Nincs rá garancia, hogy egy normálmetszet ettől eltérő pontban is az legyen.) Euler összefüggést állapított meg ezeknek a görbéknek a görbületei között. Egy felület parabolikus pontjaiban, vagyis amelyekben bij determinánsa 0, van egy olyan irány, amelyben vett normálmetszet görbülete 0.[3] Mint például James Johnston Stoker (1905 – 1992) alkalmas koordinátaválasztással rövid úton bizonyítja, ha egy felület csupa parabolikus pontból áll, akkor a felület egyúttal kifejthető is.[4] A fordított irány lényegesen egyszerűbb. A már látott

rs = p’+ n × n”u
ru = n × n

egyenletek további deriválásával és kihasználva, hogy m0 = n,

rsu = rus = n × n
ruu = 0,
b12 = (n n n”) = 0
b22 = 0

det bij = 0.

Tehát egy felület akkor és csak akkor kifejthető, ha minden pontja parabolikus.
Ugyanakkor ha egy mégoly sima térgörbén mégoly simán végigvezetünk is egy egyenest (az úgynevezett indikátrixot), az így létrejött speciális eltolási felület, a vonalfelület nem feltétlenül kifejthető. Legyen egyenlete r(s, u) = p(s) + v(s)u. Ekkor, az előzőkhöz hasonlóan,

rs = p’+ v’u
ru = v
rsu = rus = v
ruu = 0
m = rs × ru = p× v + v’u × v

det bij = 0 ↔ (v vp’) = 0.

a csavarvonal érintőfelülete, a (kifejthető) csavarfelület

Példa gyanánt hivatkozzunk a kúp- és a hengerfelület szokásos előállítására az alkotók körbevitelével az alapkör mentén. Mindkét esetben v’||  p’ (a henger esetében egyenesen v’ = 0), tehát det bij = 0, vagyis, várakozásunknak megfelelően, ezek a felületek kifejthetők.
Tekintsük most egy sima térgörbe érintőfelületét, azaz azt a felületet, mely a görbe érintői által leírt vonalfelület. Továbbra is jelöljük T-vel a direktrix érintő egységvektorát. Ekkor r(s, u) = p(s) + T(s)u,

rs = p’+ T’u
ru = T
rsu = rus = T
ruu = 0
m = rs × ru = p× T

(TpT’) = 0 → det bij = 0,

azaz az érintőfelületek kifejthetők. Hasznos gyakorlásul mutassuk meg, hogy három klasszikus vonalfelület, az August Ferdinand Möbius (1790 – 1868)-szalag, a nyereg és az egyköpenyű hiperboloid nem fejthető ki.

nem kifejthető vonalfelületek: Möbius-szalag, nyereg, egyköpenyű forgási hiperboloid


[1] Euler és a kifejthető felületek

[2] burkolók

[3] Topológia és differenciálgeometria

[4] Differential Geometry

One response to “Felületek kifejtéséről röviden

  1. Visszajelzés: További apró palástolások | SUNYIVERZUM

Vélemény, hozzászólás?

Adatok megadása vagy bejelentkezés valamelyik ikonnal:

WordPress.com Logo

Hozzászólhat a WordPress.com felhasználói fiók használatával. Kilépés /  Módosítás )

Google kép

Hozzászólhat a Google felhasználói fiók használatával. Kilépés /  Módosítás )

Twitter kép

Hozzászólhat a Twitter felhasználói fiók használatával. Kilépés /  Módosítás )

Facebook kép

Hozzászólhat a Facebook felhasználói fiók használatával. Kilépés /  Módosítás )

Kapcsolódás: %s