Függelék: N- és M-feladat

N-feladat: adott egy hegyesszög két szára, e és f. Adott két különböző P és Q pont a szögtartomány belsejében. Szerkesztendő ABCD törtvonal a következők ismeretében:

  • B és D e-n helyezkedik el;
  • A és C f-en;
  • AB = BC;
  • AB || CD
  • P rajta van AB-n, Q CD-n.


Megoldás: a Q f-re tükrözésével kapott Q’-vel az általunk nemrég már tárgyalt geometriafeladatra vezet vissza a probléma Q helyett Q’-vel (vagyis amikor csak az ABC törtvonal megszerkesztése volt a kérdés, és Q BC-n helyezkedett el). Az e és f szögszár és P előbbi szerepét változatlanul a mostani e és f szögszárak és P játssza, a korábbi Q-ét Q’. A feladat eredeti kitűzésének ugyan ellentmond, hogy Q’ nincs a szögtartomány belsejében, ez azonban (az ott ismertetett diszkusszió aktualizálásának figyelembe vételével) nem befolyásolja az ott leírt szerkesztést.

Ez a folytatás magától értetődő. Nem úgy, mint a következő

M-feladat: adott egy hegyesszög két szára, e és f. Adott két különböző P és Q pont a szögtartomány belsejében. Szerkesztendő ABCDE törtvonal a következők ismeretében:

  • B és D e-n helyezkedik el;
  • A, C és E f-en;
  • AB = BC, CD = DE;
  • P rajta van AB-n, Q DE-n.

Megoldás: a látszólag leghalálosabb bűnt követjük el geometriafeladat ellen, amit ember elkövethet. Számolni fogunk. De szent cél érdekében. Ki fogjuk mutatni, hogy ebben az általánosságban a feladat nem megoldható.

Helyezzük el tehát úgy az ábrát egy René Descartes (1596 – 1650)-féle derékszögű koordinátarendszerben, hogy az adott hegyesszög O csúcsa legyen az origó, az irányított f szögszár az abszcisszatengely és az e szögszár meredeksége m. Ha a szerkesztést elvégeztük, ismertté válik az az arány, mellyel O-ból az ABC háromszögbe zsugoríthatjuk CDE-t. A zsugorítással az adott Q pont Q’-be megy. Q’-nek rajta kell lennie BC-n. Ezt az egyenletet írjuk fel az ábrán látható helyettesítés bevezetésével. Az elborzasztóan primitív részletszámítások kivonata itt látható. (Csak egyeneseket metszünk.) A következő egyenletet kapjuk az egyszerűség kedvéért m = 1 feltételezésével (mely nem zavarja a végkövetkeztetést):

A p1, p2, q1, q2 paraméterek alkalmas megválasztásával elérhetjük, hogy az együtthatók a tetszőlegesen előírt a, b, c, d értékeket vegyék fel, ugyanis a rájuk vonatkozó lineáris egyenletrendszer determinánsa

Az eukleidesi (sz. Kr.e. 300?), azaz csak körző, vonalzó (és rajzeszközök) használatát megengedő szerkesztések elméletének ismert eredménye, hogy harmadfokú egyenletek megoldását csak egészen speciális esetben kaphatjuk meg ezekkel az eszközökkel. Még az elsőre egyszerűnek tűnő ν3 – 2 = 0 egyenlet sem tartozik a speciális esetek közé, amelyre a híres delosi kockatérfogat-kettőzéses feladat vezet[1] (akkortájt Apollon kocka alakú oltárkövének megduplázásából remélték egy pestisjárvány elülését). Itt nyilvánvalóan fel kell tételezzük, hogy csak a hosszúságegység ismert a megoldó számára.
Márpedig az összes lehetséges harmadfokú egyenlet nyilván nemcsak a tételben specifikált kivételes eseteket foglalja magába.

[1] a harmadfokú egyenletek és az eukleidesi szerkesztés


Megjegyzés: az illusztrációk elkészítési ideje lényegesen lerövidíthető, ha Excelből programozunk Paintet. Ehhez a megnyitott rajzolóalkalmazásban beállítjuk a színt, a vonalvastagságot, a vonalrajzoló ikonra kattintunk és kellően nagy rajzfelületet választunk, továbbá az Excelt a képernyő olyan területére húzzuk, melyben nem fed át a Painttel. A makró elindítását követően ne érjünk az egérhez. (Mint minden egérmozgató programnál, az elővigyázatosság indokolt, mert menet közben nehéz leállítani a futást!)

Példa (Office 2003):

Sub cikcakk()

SetCursorPos 5, 800
‘biztonsági kényszerszünet
Sleep 50
mouse_event MOUSEEVENTF_LEFTDOWN, 0, 0, 0, 0

x0 = 5
y0 = 800
For i = 1 To 16

‘függőleges szakaszok
For y = y0 To y0 – 0.38 * x0 Step (-1)

SetCursorPos x0, y
‘biztonsági kényszerszünet
Sleep 1

Next y
y0 = y

‘vízszintes szakaszok
For x = x0 To (800 – y0)

SetCursorPos x, y0
‘biztonsági kényszerszünet
Sleep 1

Next x
x0 = x

Next i

mouse_event MOUSEEVENTF_LEFTUP, 0, 0, 0, 0

End Sub

A futási eredmény túl világos ahhoz, hogy külön bemutassam. Ügyeljünk rá, hogy a Paint ẏ ordinátája lefelé, ẋ abszcisszája azonban jobbra növekedő, vagyis irányítása ellentétes a megszokottal.

Nem okozna fejtörést közvetlenül „ferde” vonalakat rajzolni, de abban a Paint gyenge. Ezért kizárólag vízszintes és függőleges vonalak húzására, illetve (ugyanilyen irányú) nyújtásra-zsugorításra használjuk. A Paint csak derékszögű elforgatásokra képes, így a forgatáshoz más alkalmazást kell használjunk.
A veszélyek dacára is csak buzdítani tudom ny. olvasóimat a Paint programozására:


 

Vélemény, hozzászólás?

Adatok megadása vagy bejelentkezés valamelyik ikonnal:

WordPress.com Logo

Hozzászólhat a WordPress.com felhasználói fiók használatával. Kilépés /  Módosítás )

Google kép

Hozzászólhat a Google felhasználói fiók használatával. Kilépés /  Módosítás )

Twitter kép

Hozzászólhat a Twitter felhasználói fiók használatával. Kilépés /  Módosítás )

Facebook kép

Hozzászólhat a Facebook felhasználói fiók használatával. Kilépés /  Módosítás )

Kapcsolódás: %s