Adott egy hegyesszögtartomány, belsejében két különböző pont…

Feladat: adott egy hegyesszög két szára, e és f. Adott két különböző P és Q pont a szögtartomány belsejében. Szerkesztendő ABC háromszög a következők ismeretében:

  • C e-n helyezkedik el;
  • A és B f-en;
  • CA = CB;
  • P rajta van CA-n, Q CB-n.

Megoldás: ha egy háromszög γ-hoz tartozó szögfelezője és a c oldal által bezárt nem nagyobb szöget φ-vel jelöljük és feltesszük, hogy β nem nagyobb α-nál, akkor a
φ + β + γ/2 = φ + β + (π – α – β)/2 = π összefüggésből φ = π/2 – (α – β)/2 következik, azaz φ és α – β ismerete az eukleidesi (sz. Kr.e. 300?) szerkesztés elvei szerint egyenértékű. Hozzávetőleges ábránkon (értsd: a „lényegre” figyeljünk) ennek lépései baloldalt láthatók, míg a szerkesztés főbb lépéseinek sorszámát zöld színnel jelöljük.

Világos, hogy C meghatározása elegendő. Egyenértékű feladat tehát PQC háromszög megszerkesztése, ha P és Q adott, C egy adott e (fél-)egyenesen helyezkedik el és ismert a Q-nál levő β és a P-nél levő α különbsége, ugyanis a C-beli szögfelező merőleges f-re, így iránya ismert.
Tükrözzük C-t P és Q felezőmerőlegesére, így kapjuk C’-t. C és C’ elhelyezkedéséről annyit tudunk, hogy C e-n, C’ e-nek a felezőmerőlegesre vonatkozó e’ tükörképén helyezkedik el. Jelöljük e és e’ metszéspontját R-rel. Ez egyben PQ felezőmerőlegese és e metszéspontja is. (1) Ha tehát megszerkesztjük az RCPC’ négyszöget, akkor megkaptuk C-t. Mit ismerünk ebből a négyszögből?

  • Az R csúcsot;
  • az azon átmenő két oldal egyenesét (e és e’);
  • a szemben levő csúcsot (P);
  • a két átló szögét (mivel CC’ || PQ);
  • a P-nél levő szöget (α – β).

Vegyünk fel tehát egy tetszőleges nem elfajult XY szakaszt, mely párhuzamos PQ-val. Az ábrán ez az egyszerűség kedvéért maga a PQ szakasz, tehát X = P, Y = Q.) A két végpontjában húzzunk párhuzamost e-vel és e’-vel. Messék ezek egymást Z-ben (2). XY átellenes partjára szerkesszünk α – β szögű látókört (3). A Z-ből PR-rel húzott párhuzamos messe ki a látókörből a W pontot (4). Az így nyert ZXWY négyszög hasonló a keresett RCPC’ négyszöghöz. Az ismert hasonlósági arány ZW:RP. Ennek ismeretében a ZY ilyen arányú zsugorításával megkapjuk PC-t (5).

Diszkusszió: ha PQ merőleges e-re (más szóval ha φ e és f hajlásszögével egyenlő), akkor e és e’ párhuzamosak, tehát R nem létezik, és Z ugyancsak nem létezik. W mégis létezik: PQ felezőmerőlegese metszi ki a látókörből. Ezt P-vel összekötve a megoldás ugyanúgy fejeződik be, mint a fő esetben. Látókör akkor és csak akkor nem létezik, ha α = β, de ekkor R = C.


 

One response to “Adott egy hegyesszögtartomány, belsejében két különböző pont…

  1. Visszajelzés: Függelék: n-, N- és M-feladatok | SUNYIVERZUM

Vélemény, hozzászólás?

Adatok megadása vagy bejelentkezés valamelyik ikonnal:

WordPress.com Logo

Hozzászólhat a WordPress.com felhasználói fiók használatával. Kilépés /  Módosítás )

Google kép

Hozzászólhat a Google felhasználói fiók használatával. Kilépés /  Módosítás )

Twitter kép

Hozzászólhat a Twitter felhasználói fiók használatával. Kilépés /  Módosítás )

Facebook kép

Hozzászólhat a Facebook felhasználói fiók használatával. Kilépés /  Módosítás )

Kapcsolódás: %s