Kis körnégyszögesítési praktikum

Állítás: legyen adott egy C2 síkgörbe, legyen továbbá f C1-beli. Tételezzük fel, hogy t + f(s)n merőleges egy állandó v nemzérus vektorra* (a szokásos jelölésekkel: t az érintő egységvektor, n a normális egységvektor, s az ívhosszparaméter). Tegyük fel továbbá, hogy a görbület zérushelyei nem torlódnak. Ekkor a görbe legalább szakaszonként elhelyezhető egy René Descartes (1596 – 1650)-féle derékszögű koordinátarendszerben úgy, hogy valamely valós m állandóra

teljesüljön, és ha van olyan pontja a görbének, melyben az érintő merőleges v-re, akkor úgy is, hogy

*) A síkban egyenértékűen úgy is mondhatnánk, állandó irányú.


Bizonyítás: síkgörbékre a Jean Frédéric Frenet (1816 – 1900) – Joseph-Alfred Serret (1819 – 1885)-formulák egyszerű alakja[1]

t’ = κn,
n’ = – κt.

Feltevésünk szerint t + f(s)n merőleges v-re, így deriváltja, κn + f’n – κft is. Az eredeti kifejezés κf-szeresét ehhez a deriválthoz adva a t komponenst eliminálhatjuk. Így azt kapjuk, hogy (κf2 + κ + f’)n mindig merőleges v-re.

Ha nv zérushelyei torlódnak, akkor, tekintve, hogy nv deriválható, egy-egy ilyen torlódáshelyen a derivált 0 (a zérushelyek részsorozatán képezzük a különbségi hányadosok határértékét).
Ugyanakkor (nv)’ = – κtv. Ha n merőleges v-re, akkor t nem lehet az, így nv zérushelyeinek torlódási pontjain a görbület 0. A kikötés értelmében tehát nv zérushelyeinek torlódási pontjai már nem torlódhatnak. Így végig a görbe értelmezési tartományán szakaszokat (esetleg végtelen sokat) találunk, melyeken a (κf2 + κ + f’)(nv) szorzat első tényezője 0.

Következésképpen ezeken a szakaszokon

A simasági kikötések értelmében integrálhatjuk az egyenlőséget:

azaz, az integrálokat kiszámolva, α = arc tg f(0) – arc tg f, ahol α a görbe érintőjének az s = 0 paraméterű pontban húzott érintővel bezárt szöge. Ezek után a koordinátákat vegyük fel olyanképpen, hogy t(0) = i legyen. Ekkor mindkét oldal tangensét véve az ígért formulához jutunk, mivel y’ = tg α. Ha van olyan pontja a görbének, melyben az érintő merőleges v-re, akkor, tekintve, hogy t + f(s)n is az, továbbá n nem lehet az, ott f = 0. Ha tehát az ívhosszat ebből a pontból számoljuk, akkor y’ = – f.


Tekintsük most ennek az egyszerű állításnak egy alkalmazását. Gördítsünk végig egy szakaszt egy pozitív görbületű sima görbén, és vizsgáljuk meg annak feltételét, hogy egy, a szakaszhoz rögzített pont mindeközben egyenes vonalú mozgást végezzen, az alábbi ábrának megfelelően úgy, hogy az egyenes mozgás pályája vízszintes legyen (a szakasz a görbét érintő vízszintes, a hozzá rögzített pontot *-gal jelöltük):

A szakasztól mért távolságot kényelmi okokból l-lel jelöljük, és nem tekintjük egységnyinek, mert így számításainkat minden pillanatban legalább a „dimenzióanalízis” alapszabályaival ellenőrizhetjük (x, y, s, l „méter”, y’ „dimenziótlan”, κ „1/méter” stb., és eltérő dimenziójú mennyiségeket nem összegezhetünk). Mozgása során a pont helyzetét értelemszerűen az r – st + ln görbe írja le. Ennek érintőjéről kívánjuk meg, hogy merőleges legyen j-re, azaz
(r – st + ln)’ j = 0. A derivált – sκn – lκt, egyenértékű megfogalmazásban,
[t + f(s)n]j = 0, ahol f(s) = s /l. Így tehát a fenti lemma alkalmazásával a görbét a derékszögű koordinátarendszerben leíró függvény deriváltjára y’ = – s/l-et kapunk. Újabb deriválás után

majd az η = y’ rövidítéssel, átosztással és integrálással élve

azaz y’ = – sh (x/l). Figyelembe véve az y(0) = 0 kezdeti feltételt, a görbe alakjára ezt kapjuk: y = – l ch (x/l), azaz a görbe a láncgörbe.
Ez az eredmény jól ismert máshonnan azok számára, akik úgy döntöttek, sutba dobják elavult, hagyományos kerékpárjukat, és áttérnek a négyzet alakú kerekekre. A vízszintes járda idegesíti az újítókat. Az ő kedvükért olyan hepehupákat alakítanak ki, hogy azokon elhajtva zökkenőmentesen, állandó farmagassággal repeszthessenek. Amint véget ér a szakasz, a következő nekifeszül a következő buckának és így tovább ad infinitum. A buckák profilja pedig a fentiekben láthatóan a láncgörbe.


[1] http://mathworld.wolfram.com/FrenetFormulas.html

Vélemény, hozzászólás?

Adatok megadása vagy bejelentkezés valamelyik ikonnal:

WordPress.com Logo

Hozzászólhat a WordPress.com felhasználói fiók használatával. Kilépés /  Módosítás )

Google kép

Hozzászólhat a Google felhasználói fiók használatával. Kilépés /  Módosítás )

Twitter kép

Hozzászólhat a Twitter felhasználói fiók használatával. Kilépés /  Módosítás )

Facebook kép

Hozzászólhat a Facebook felhasználói fiók használatával. Kilépés /  Módosítás )

Kapcsolódás: %s