Kettő hatványai, előlről

Az, hogy 2 hatványai (pl. a 10-es számrendszerben) milyen jegyre végződnek, érdektelenségig egyszerű. Egy fokkal érdekesebb, hogy mit mondhatunk a kezdő számjegyekről. (A probléma és megoldása természetesen szintén ősi.)

Egy M természetes szám 10-es számrendszerbeli alakja első jegyének meghatározásához először megállapítjuk, egyáltalán hány jegye van (értelemszerűen [lg M]+1), majd M-et elosztjuk 10-nek ennél eggyel kisebb hatványával, és vesszük az így kapott szám egészrészét. Képlettel: [M/10[lg M]]. Legyen például M = 16681. Ekkor lg M ≈ 4,222222, [lg M] = 4, M/10[lg M] = 1,6681, ennek egészrésze 1. A képlet lényegesen egyszerűsíthető, ha figyelembe vesszük, hogy M = 10lg M. Így M első jegye [10{lg M}], példánkban [100,222222…] = 1.
Legyen most M 2-hatvány, 2N valamely N természetes számra. Ekkor lg M = N lg 2, így az első jegyét a [10{N lg 2}] formula szolgáltatja.
2 tízes alapú logaritmusa irracionális. Ha ugyanis lg 2 = p/q, ahol p és q természetes és (p, q) = 1, akkor mindkét oldalt 10-re emelve 10p = 2q, ami ellentmondás.
Ismert módon bármely irracionális α-ra {Nα} egyenletesen tölti ki a [0, 1) intervallumot, ha N végigfutja a természetes számok halmazát, abban az értelemben, hogy ha I [0, 1) egy rögzített, x hosszúságú részintervalluma, akkor N-nel végtelenbe tartva az I-be eső értékek száma és N hányadosa x-be tart.

Ezt az ismert állítást olyan könnyű bizonyítani, hogy ne lazsáljuk el. Ez a rész természetesen átugorható. Az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy 0 < α < 1. Abban a látszólag kiterjesztett formában bizonyítjuk az állítást, hogy általánosabban vett részintervallumokra látjuk be. A hagyományos részintervallumokhoz még hozzá soroljuk a [0, a] U [b,1) alakú halmazokat is, ahol 0 ≤ a ≤ b < 1, és ezek hosszát összetevőik hossza összegeként tekintjük, azaz a + 1 – b-nek. Nyilvánvalóan úgy könnyű elképzelnünk a helyzetet, hogy a [0, 1) intervallumot a két végénél 1 kerületű körré ragasztjuk össze, így a részintervallumok – az eredetiek és az általánosak – körívekbe mennek át. Minden x hosszúságú részintervallumot egyértelműen jellemez a kezdőpontja. Először belátjuk, hogy bármely x hosszúságú általánosított részintervallumba N növelésével határértékben a pontok ugyanakkora részaránya esik. Az {Nα} sorozat egymást követő pontjaiból mint végpontokból egymáshoz kapcsolódó α hosszúságú általánosított részintervallumok keletkeznek. Egy-egy ilyen kapcsolódási pontból kiindulva az egymást követő pontok sosem eshetnek egy már korábbira, mert α irracionális. Egy körbeérés után, azaz amikor két egymást követő pont közrefogja a kiindulásit, jelöljük a-val a kiindulási pontot, b-vel és c-vel az a-t közrefogó pontokat (a kiterjesztett értelemben, azaz a köríven). Ekkor b és a, illetve c és a távolsága közül pontosan az egyik kisebb α felénél. Egy ilyen körbejárást egyetlen lépésnek tekintve az új eljárással az így kapott távolság felénél is kisebb távolságú ponthoz érünk. Ez azt jelenti, hogy bármilyen kicsi távolságot is előírva találunk akkora lépésszámot, hogy a kiindulóponthoz képest az előírt kicsiny távolságon belüli ponthoz érjünk. Így egy adott x hosszúságú általánosított részintervallumba eső pontok részaránya kellő nagyságú lépésszám esetén tetszőlegesen megközelíti egy másik ilyen hosszúságú általánosított részintervallumba eső pontok sűrűségét, hiszen az egyik kezdőpontja kellően sok lépés után tetszőleges pontossággal megközelíti a másikét, és a kezdőponttal együtt mozog az általánosított részintervallumba eső összes pont is. Mármost ha x racionális és x = p/q, ahol p és q természetes számok, akkor q példányát egymás után illesztve (az általános értelemben) a teljes intervallumot pontosan p-szeresen fedjük le, így az intervallumba esés sűrűsége csak p/q lehet. Ha x irracionális, akkor  növekedően tetszőlegesen megközelíthető racionális számokkal, és így azt kapjuk, bármely x hosszúságú általánosított részintervallumba esés részaránya x, mivel egy-egy általánosított részintervallumba esés gyakorisága szükségképpen nagyobb, mint ennek egy valódi általánosított rész-részintervallumába esésé.

Így tehát oda jutunk, hogy 2 egymást követő hatványai első jegyei az ábrán látható módon oszlanak meg. Az ordinátán a jegy egy-egy sáv alsó értéke, ennek sűrűsége a sáv visszaképzése az abszcisszára. A görbe természetesen a 10-re emelés grafikonja.

Ha tehát például arra vagyunk kíváncsiak, az első egytrillió kettőhatvány közül hány kezdődik 7-essel, a 7-hez tartozó részintervallum hosszát (lg 8/7) kell beszoroznunk egytrillióval. A keresett számra kb. 57991946977686755-öt kapunk. (Itt a legfontosabb kérdés a „kb.” értelme. Ezt homályban hagyom, pillanatnyilag magam is homályban lévén.) 1-essel láthatóan több, mint 30%-uk fog kezdődni. A kérdés általános k alapú számrendszerben is felvethető. Tegyük fel, hogy k és K egyetlen természetes kitevős hatványa sem egyezik meg. Ekkor K természetes kitevős hatványai közül az n-esek (0 < n < k) részaránya
logk (1 + 1/n).

Advertisements

4 responses to “Kettő hatványai, előlről

  1. Kiegészítésképpen tisztelettel hozzáfűzném, hogy az irracionális számok többszörösei törtrészeinek egyenletes eloszlásáról szóló, fent idézett és bizonyított tétel a nagy német matematikus, Leopold Kronecker nevéhez fűződik.

    https://en.wikipedia.org/wiki/Leopold_Kronecker

    Kedvelik 1 személy

  2. Visszajelzés: Mese a négyzetszámokról | SUNYIVERZUM

  3. Egy érdeklődő olvasó

    Kedvelik 2 ember

Vélemény, hozzászólás?

Adatok megadása vagy bejelentkezés valamelyik ikonnal:

WordPress.com Logo

Hozzászólhat a WordPress.com felhasználói fiók használatával. Kilépés / Módosítás )

Twitter kép

Hozzászólhat a Twitter felhasználói fiók használatával. Kilépés / Módosítás )

Facebook kép

Hozzászólhat a Facebook felhasználói fiók használatával. Kilépés / Módosítás )

Google+ kép

Hozzászólhat a Google+ felhasználói fiók használatával. Kilépés / Módosítás )

Kapcsolódás: %s