Önevolvens

Induljunk ki a [0, 1] intervallumon értelmezett olyan görbéből, mely korlátos, a [0,1)-en kétszer folytonosan deriválható (C2), konvex, a 0-ban a deriváltja 0, az 1-ben a végtelenhez tart. Az ábrán egy ilyen görbét látunk.

ellipse_black

Mindenekelőtt mutassuk meg, hogy a görbe rektifikálható, azaz létezik ívhossza. Ha a szokásos ívhosszformulát tekintjük:

1-ivhossz

elsőre kényelmetlenül érinthet bennünket, hogy a deriváltfüggvény nem korlátos. Ezért az integrálást csak addig az x0-ig végezzük, amíg a derivált értéke éppen eléri az 1-et, a görbe maradék szakaszára pedig annak inverzének ívhosszát számítjuk ki, mely nyilvánvalóan létezik és ugyanakkora.
Fejtsük le a görbét a legfelső pontjából kiindulva, más szóval minden érintőjére mérjük rá a haladási iránnyal ellentétesen az addig megtett ív hosszát, vagy, hagyományos elnevezéssel, képezzük a görbe evolvensét. A kapott görbének az első görbe s0 = 0 ívparaméteréhez tartozó pontjában az érintő vízszintes, az x-tengelybe a görbeszakasz függőlegesen fut be, és a görbe simasági tulajdonságai megmaradnak. Minden együttáll, hogy az eljárást folytassuk, ám a befutási pontból. Az eljárást a továbbiakban úgy ismételgetjük, hogy mindig a befutási, azaz a 90° meredekségű pontból indítjuk az új lefejtést.

2-lefejtes

Meg kell jegyezzük, hogy ha a lefejtést kissé általánosítva értjük, azaz megengedjük, hogy az induló görbe kezdő és végső meredeksége ne legyen az, amit előírtunk, és a szigorú értelemben vett lefejtés így megállna egy x-tengely feletti pontban, akkor, ha (a lefejtés értelmezésének kiterjesztésével) ezt a görbét egy körívvel folytatnánk az x-tengelyig, melynek középpontja az origó, sugara az ívhossz, akkor a kapott kiterjesztett görbe szintén C2 lenne, és a második iterált már 0 meredekséggel indulna és végtelen meredekséggel érne véget. Azaz a kezdeti és végső érintőkre tett feltétel nem lényeges.

Ha azt a kérdést vetnénk fel, konvergens-e az itt leírt eljárás, nyilvánvaló nemmel kellene felelnünk. Ha ugyanis az n-edik iterált kezdőpontjának abszcisszája xn, végpontjáé Xn, ívhossza pedig ln, akkor a természetes xn+1 = Xn, Xn+1 = xn+ ln összefüggések alapján, figyelembe véve, hogy ln legalább akkora, mint az eljárás folyamán állandó legnagyobb magasság, y0, azt találjuk, hogy

3-lim

Azaz a görbék a végtelenbe tolódnak. De ha együtt utazunk velük, vagyis a természetes egyenletükre szorítkozunk (azaz arra, amely a görbületüket adja meg az ívhosszuk függvényében), akkor ez a természetes egyenlet lehet konvergens, azaz ekkor mondhatjuk, a görbealakok konvergensek.
Ha r0 a kezdeti görbe, akkor, ha érintővektora t = r’, az első iterált egyenlete r1= r0 – t0s0. Ennek megfelelően az első iterált ívhosszára a következő formulát kapjuk, figyelembe véve a к görbületet definiáló t’= кn egyenlőséget:.4-kappa

A formula továbbörökítésekor vigyáznunk kell arra, hogy amikor az első iterált lefejtését indítjuk, a görbe ívhosszát, célszerűen, az s0= l0 paraméterű pontból indítjuk, és úgy haladunk az s0= 0 paraméterű pontig. Ennek figyelembe vételével

5-kappa2

Az integrált átalakítjuk s1 fenti formulájának behelyettesítésével. Figyelembe vesszük a lefejtés alapszabályát (azaz azt, hogy a pillanatnyi sugár az addigi ívhossz):

6-kappanp1

Következésképpen

7-s2

Az általános rekurziós formula felírása előtt célszerű figyelembe vennünk, hogy amennyiben α-val jelöljük az aktuális érintő és a pozitív y-tengely (!) által bezárt szöget (hiszen a lefejtés miatt az ívhosszat a kezdeti görbe felső pontjából számítjuk), akkor

8-dalfa

Ez további egyszerűsítő integráltranszformációkat tesz lehetővé. Jelöljük a kiinduló görbén az α-hoz tartozó ívhosszat s-sel, és (kényelmi okokból) vezessük be az

9-f1

jelölést (f1 az s1 ívhossz értéke az első iterálton, ami a kiinduló görbe α szögállásához tartozik, de ennek nincs különösebb jelentősége).
Állítás: C2-beli kiinduló f1 függvényekre a

10-rekurzio

rekurzió konvergens, és sin α valamely valós többszöröséhez tart.
Bizonyítás: ha a rekurziónak van f határértéke, akkor az kielégíti az

11-hatarertek

integrálegyenletet, azaz f” + f = 0, és teljesülnek az irreguláris f(0) = 0, f’(π/2) = 0 határfeltételek. Így a határérték nem lehet más, mint sin α valamely valós többszöröse.
Terjesszük ki f-et negatív értékekre páratlanul, és képezzük a ck Fourier (1768 – 1830)-együtthatóit a [-π, π] intervallumon (f π/2 és π közötti értékeit a simasági kikötés fenntartásával tetszés szerint megadhatjuk). Az f-re kikötött simasági feltételek alapján a Fourier-sor [0, π/2]-n előállítja f-et, azaz

12-falfa

A fenti alakú összeg k-adik tagja a kétszeres integrálással

13-tag

alakul át könnyen ellenőrizhetően. A rekurzió további kiértékelésében zavaróan hat az első tag. Az ott szereplő α-t szintén Fourier-sorba fejtjük, ám kényelmi okokból más Fourier-alapfüggvényekkel. Szintén páratlanul terjesztjük ki, de a [-π/2, π/2]-t választjuk alapintervallumnak. Az alábbi ábra azt mutatja, hogy a kétféleképpen képezett Fourier-sorral globálisan az ott kétféle színnel jelölt két függvénygrafikon valamely lineáris kombinációját kapjuk (α együtthatójától függően), ám a bennünket kizárólagosan érdeklő, színezett sávban az előállítás azt adja, ami számunkra fontos.

14-grafAz α előállítása ennek megfelelően:

15-alfa

Ez azt jelenti, hogy a rekurzió egy-egy lépése során a belső integrál határa miatt beszivárgó lineáris tag a páros indexű Fourier-komponenseket megnöveli, és a kétszeres integrálás összesített hatása egy-egy együtthatóra a következő:

16-fourier

Szavakban: a kétszeres integrálás minden együtthatót osztja az indexe négyzetével, de a páros indexűeket ezen túlmenően 3-mal is beszorozza. Eredményül tehát azt kapjuk, hogy az első Fourier-komponens kivételével az összes többi négyzetes sebességgel tart a 0-ba, ami bizonyítja az állítást.


Tehát létezik az S(α) határfüggvény és valamely (pozitív) valós L-re L sinα-val egyenlő. A határgörbe ívhossza ekkor S(π/2) = L. Figyelembe véve a lefejtés görbületre vonatkozó alapformuláját, a K görbületre a következőt kapjuk:

17-k

Előttünk áll tehát a határgörbe természetes egyenletének explicit alakja is. Ám kétségtelen, hogy olykor a karteziánus koordinátákból, történeti alapon, könnyebben felismerhető egy-egy görbe. A természetes egyenletből ezek visszafejthetők, de még egyszerűbb, ha az α-val kifejezett alakból indulunk ki. Az x és y koordinátát ennek függvényében felírva valamely λ(α)-ra

18-xpyp

ahonnan λ(α) = L cos α, és az x(π/2) = 0, y(π/2) = 0 választással x = L (1 – cos2 α)/2, y = L [α/2 + (sin(2 α)/4 – π/4], azaz a határgörbe egy ciklois fél íve. Így választ adhatunk L értékére is. A ciklois teljes íve 2L hosszúságú lenne, és abban az esetben, ha a görbe magassága π/2 lenne, az L ívhosszra egyszerű számítással 2-t kapnánk. Ám a ciklois magassága y0, így egyszerű arányképzéssel L = 4 y0 / π.
Joggal vethető fel, hogy a rekurziónkban minden második lefejtésre szorítkoztunk, azaz a páros sorszámúakra – mit mondhatunk a páratlan sorszámúak konvergenciájáról? A számos egyszerű érvelés közül válasszunk egy elemi geometriait. Az egymás utáni lefejtésekről válasszuk le az induló görbét, majd ami megmaradt, tükrözzük az y = y0 / 2 egyenesre. A kapott lefejtési sorban az eredetileg páratlan indexűek most páros indexszel szerepelnek, tehát a páratlan indexűek is ugyanolyan paraméterű cikloisba tartanak, csak egyenesre tükrözve és eltolva (csúsztatva tükrözés).

19-ciklois

Advertisements

2 responses to “Önevolvens

  1. Önmagában az, hogy a ciklois önevolvens, régi ismeret.

    http://mathworld.wolfram.com/CycloidInvolute.html

    Kedvelés

  2. Visszajelzés: Kifacsart szállóigék | SUNYIVERZUM

Vélemény, hozzászólás?

Adatok megadása vagy bejelentkezés valamelyik ikonnal:

WordPress.com Logo

Hozzászólhat a WordPress.com felhasználói fiók használatával. Kilépés / Módosítás )

Twitter kép

Hozzászólhat a Twitter felhasználói fiók használatával. Kilépés / Módosítás )

Facebook kép

Hozzászólhat a Facebook felhasználói fiók használatával. Kilépés / Módosítás )

Google+ kép

Hozzászólhat a Google+ felhasználói fiók használatával. Kilépés / Módosítás )

Kapcsolódás: %s