A munkanélküliség világa

1 Euklides

Eukleides (sz. Kr.e. 300?)

Nem célom korunk zord fegyelmező eszközén, a munkanélküliségen gúnyolódni, inkább az Ezeregyéjszaka bűvös hangulatát, a soha ki nem ürülő gyémántos medencéket és völgyeket, mindannyiunk álmát: a munkavégzést nem igénylő világot szeretném felidézni. Persze ez egy erősen leegyszerűsített, háromdimenziós, euklidesi világ lesz. Bonyolultabb univerzumokat is elképzelhetünk, hasonló következtetésekkel, de azokra nem terjed ki a következő rövid, egyszerű eszmefuttatás.

 

2 Frobenius

Frobenius

Vizsgáljuk tehát a háromdimenziós tér egy sima, azaz, vizsgálatunkban folytonosan differenciálható vektormezejét. Ha egy még egyszerűbb világot, a közönséges síkot képzeljük magunk elé, ott ha minden pontban „kis” szakaszokat rajzolunk fel, melyek merőlegesek a vektorokra (ne bíbelődjünk zérusvektorokkal), akkor ezek a szakaszokká olvadnak össze, pontosabban szólva, nemzérus vektorokból álló síkbeli vektormezők esetén találunk olyan, egymást és önmagukat nem metsző sima görbékből álló, a síkot lefedő görbesereget, mely merőleges a vektorokra. Ferdinand Georg Frobenius (1849 – 1917) feltette magának a kérdést, mi a helyzet magasabb dimenziók tereiben, és válaszában kifejtette annak feltételeit, hogy létezzenek a vektormezőkre merőleges hiperfelület-seregek.[1] Már három dimenzióban is azt látjuk, a tipikus eset az, hogy ilyen felületseregek nem léteznek: a tér pontjaiba rajzolt, a vektorokra merőlegesen emelt „kis” felületdarabok nem állnak össze felületekké. Ha ugyanis léteznek ilyen felületseregek (a tér úgynevezett fóliázása), akkor a vektormező párhuzamos kell legyen egy konzervatív vektormezővel, nevezetesen éppen azzal, mely annak a skalármezőnek a gradiense, melynek szintfelületei ezek a felületek.

3 Cayley

Cayley

4 Pfaff

Pfaff

valasztoAzaz a vektormezőt alkalmas U skalármezővel – úgynevezett integráló tényezővel, vagy ahogy Arthur Cayley (1821 – 1895) 1852-ben Johann Friedrich Pfaffról (1765 – 1825) elnevezte, Pfaff-formával[2] – beszorozva konzervatív vektormezőhöz kell jussunk. Szingularitásoktól mentes („egyszeresen összefüggő”) értelmezési tartományokban, tanítja a skalárpotenciálok elmélete, egy vektormező akkor és csak akkor konzervatív, ha rotációja 0.[3] Vagyis, a kiinduló vektormezőt v-vel jelölve, valamely U skalármezőre az alábbi egyenlőséget kapjuk:

keplet1

A vektormezők deriválási szabályait alkalmazva[4]
keplet2

Mindkét oldalt v-vel szorozva azt kapjuk, ilyen U skalármező létezésének szükséges feltétele, hogy v merőleges legyen a rotációjára. (Az ilyen vektormezőket involutívnak nevezzük, ez a fogalom bonyolultabb terekre is kézenfekvően általánosítható.) Frobenius említett tétele szerint egy vektormező akkor és csak akkor integrálható (azaz létezik fóliázása), ha involutív. Röviden, a merőlegességi feltétel egyben elégséges is.
A vektormezőt erőtérnek tekintve vizsgáljuk meg azokat a térgörbéket, amelyek minden pontban merőlegesek az erőtérre. Itt tehát olyan térgörbéket vizsgálunk, melyeknek létezik bal- és jobboldali deriváltjuk (érintőjük). Ezeknek a görbéknek a mentén egy pontszerű tömeget elmozgathatunk anélkül, hogy munkát kellene végeznünk az erőtér ellenében (vagy hogy az munkát végezne a tömegponton). (Természetesen alkalmas „stabilizátorral” gondoskodnunk kell arról, hogy az erőtér kénye-kedve szerint ki ne ragadja a kezünkből a tömegpontot. Talajközeli gravitációs térben egy vízszintes asztallap éppen megteszi ilyen stabilizátornak.) Involutív erőtérben egy-egy fólián bármely görbén elmozgathatjuk a tömegpontot, ám nem tudunk lekanyarodni a felületről anélkül, hogy a kanyarnak ne lenne erőirányú komponense (és akkor máris ott a munkavégzés).


Azt állítjuk, ha az erőtér egyetlen pontban sem merőleges a rotációjára, akkor a tér bármely két pontja összeköthető az erőtérre minden pontban merőleges görbével. A célba vett pontot mondhatjuk origónak, akár mert miért is ne kaphatná ezt a nevet a keresztségben, akár mert nyilvánvaló módon két pont akkor és csak akkor köthető össze az erőtérre merőleges görbével, ha minden pont összeköthető így az origóval. Első nekifutásra próbálkozzunk a „mohó algoritmussal”: a tér egy pontját a kiindulópontból elérve, illetve magából a kiindulópontból a lehetséges továbbhaladási irányok közül válasszuk azt, amelyik leginkább az origóba mutat. Ezt az irányt úgy kapjuk meg, hogy –r-et (az origóba mutató irányt) rávetítjük a v-re merőleges síkra. Mivel feltettük, hogy az erőtér egyetlen pontban sem merőleges a rotációjára, ez magában hordozza azt is, hogy v egyetlen pontban sem 0, így puszta kényelemből feltehetjük, hogy |v| = 1. A vektorok hosszának megváltoztatása, feltéve, hogy nem 0-val szoroztuk meg őket, nem változtat azon a tényen, hogy az erőtérre merőleges-e a rotációja: a második egyenletet Uv-vel beszorozva azt találjuk, valamely pontban Uv pontosan akkor merőleges a rotációjára, amikor v is az. Így a következő iránymezőhöz, illetve a neki megfelelő differenciálegyenlet-rendszerhez jutunk:

keplet3

5 Peano

Peano

Egy tetszőleges pontból kiindított megoldásgörbe Giuseppe Peano (1858 – 1932) egzisztenciatétele értelmében annak minden pontjából folytatható az időben, de nem okvetlenül a térben. Mindenesetre a térben is, amennyiben ott a jobboldal nem 0. Figyeljük meg, a pályán haladva hogy változik az origótól (a céltól) számított távolság. Ennek négyzetének felét (kényelmi okokból) a rendszer szerint deriválva, azaz a pályagörbe mentén nézve változását, a differenciálegyenlet-rendszer mindkét oldalának r-rel történő beszorzása révén ennek változási sebességeként ezt kapjuk: keplet4

 

Vagyis a távolság mindaddig csökken, amíg a jobboldal negatív. A jobboldal pozitív nem lehet, hiszen a kisebbítendő nagysága nem lehet nagyobb r2-nél. Ám természetesen elérheti a 0-t, ha r párhuzamos v-vel. Most következik hat száraz, de nem kihagyható mondat. Mindenekelőtt vizsgáljuk meg az adott kiindulópontból merőleges görbékkel általában is elérhető pontok halmazát, legalábbis egy lényeges alapvonását. A végesben maradó görbéket tekintsük mindkét végükön zártaknak. A pályagörbék mint pályagörbék a végpontjukban nyíltak ugyan, de lezárhatjuk őket ezzel a végponttal, függetlenül attól, hogy ide végtelen idő alatt juthatunk csak el (és – de csak elsőre – azt sem zárhatjuk ki, hogy ívhosszuk is végtelen, de ez is lényegtelen). Az elérhető pontok halmaza zárt.

6 Cauchy

Cauchy

Ha ugyanis vesszük egy torlódási pontjukat, az abba tartó végpontokhoz vezető görbék adott időben elért pontjainak Cauchy (1789 – 1857) -konvergenciájából azok konvergenciája következik, és a görbék simasága miatt a határpontokból összeálló görbe is merőleges görbe lesz, mely a végpontok torlódási pontjába tart. Ha tehát egy adott pontból kiindulva vizsgáljuk az onnan merőleges görbékkel elérhető pontok halmazát, akkor lesznek közöttük olyanok, melyek az origót a lehető legközelebbre közelítik meg, és ezek attól egyenlő távolságra vannak, olyan helyen, amelyekben v párhuzamos r-rel.

 

(Csak röviden utalunk rá, de kötelességünk: önmagában abból, hogy az egymáshoz közeli P és P’ pontokat el tudtuk érni a kiindulópontból, nem következik, hogy maguk az ezeket elérő görbék is közeliek. Ezeknek a lehetséges görbéknek a halmaza igen bonyolult. Ám igaz az az állítás, hogy ebben az esetben a közeli P’-be futó görbék közül kiválasztható olyan, amelyik közel fut a P-be érkezőhöz. Az alábbi konstrukcióval ugyanis előállíthatunk egy olyan, a P-be futó görbéhez közeli merőleges görbét, mely P’-t összeköti a P-be futó görbe egy P-hez közeli pontjával.)

valasztoEllentmondásra fogunk jutni abból a feltételezésből, hogy ez a távolság nem 0.
Vegyük az egyik ilyen feltételezett legjobb megközelítést. A végpontjában, nevezzük P-nek, v párhuzamos r-rel. Az általánosság megszorítása nélkül mondhatjuk, hogy ez a v k-val egyenlő, a z-tengely irányába mutató egységvektorral. Egy speciális krajcolás révén most még közelebb jutunk az origóhoz, és ezzel elő is áll az ellentmondás. Legyen i és j a másik két koordináta-egységvektor. Határozzuk meg v rotációjának és v-nek a skaláris szorzatát P-ben. Ez világos módon a rotáció harmadik komponense:  keplet5

Ez a szám, feltételezésünkből adódóan, nem 0. Most irányítsunk P-ből P-ben egymásra is, v-re is merőleges két görbét: az egyik, jelöljük J-vel, illeszkedjen az i × v, a másik, I, a j × v iránymezőkre.

7 krajc

Mindkét görbére egy-egy felületet illesztünk. J-re a j × v, I-re az i × v iránymezőre illeszkedő merőleges görbéket. Az I-ből kiinduló görbékből álló felület legyen A, a J-ből indulóké B. Természetesen mindkét felületben mindkét görbe benne van. (Ezek a görbék és felületek esetleg csak P környezetében léteznek, de v folytonossága miatt elég kis sugarú környezetben v nagyon jól közelíti k-t, így az irányok nem válnak 0-vá, ami a görbék és felületek létezéséhez elegendő is.) Kimutatjuk, hogy a két felület ezekben a görbékben nem érinti, hanem metszi egymást. Vegyük I egy, P-hez közeli, de avval nem egybeeső pontját, például a δ idő alatt elérhető pontot. A-ban a felületi normális, értelemszerűen, (j × v) × (v × i). Ennek csak a második tényezőjét írjuk fel elsőrendű közelítésben P-ből i irányban, δ idő alatt:  keplet6

Ennek koordinátás alakja:

keplet8

Nézzük meg ugyanebben a pontban B felületi normálisát. I pontbeli érintővektora, j × v ennek szintén felületi vektora (azaz benne van az érintősíkjában). Egy másik (erre „közel” merőleges) felületi vektort úgy kapunk, ha P-ből j-t eltoljuk a j × v iránymező mentén. Így elsőrendű közelítésben erre a felületi vektorra a következőt kapjuk:

keplet9

Ennek koordinátás alakja:

keplet10

A második felületi vektorból az elsőt kivonva:

keplet11

A két felületi normális számításakor az egyik érintővektor, mint láttuk, egybeesett: j × v. Ha a fenti különbséget ezzel balról keresztbeszorozzuk, a kapott vektor nem zérus, ugyanis j × v nulladrendű közelítésben i, és ezért a fenti különbségvektorral keresztbeszorozva a j irányú komponens nem 0, hiszen az éppen v és rotációja skalárszorzata. Tehát A és B két olyan reguláris felületdarab, melyek I-ben és J-ben metszik egymást. Emiatt ha P-ből k mentén az origó felé kellően kicsit elmozdulunk egy P’ pontba és ott építjük fel az I görbét (I’) és a B felületet (B’), az így kapott B’ közel fekszik B-hez, és szintén metszi A-t. Legyen egy ilyen közös pont Q. Ebből tudunk merőleges vonalat húzni J-hez (egy R pontjához), és (rá közel merőlegesen) I’- hez (egy S pontjához). Ezután a krajcolás útvonala: P-ből R-be J mentén, R-ből Q-ba, Q-ból S-be, S-ből P’-be I’ mentén. Így merőleges görbéken át elértük P’-t P-ből, ami közelebb fekszik az origóhoz, és ezzel ellentmondásra jutottunk.

8 Carathéodory

Carathéodory

Amikor Constantin Carathéodory (1873 – 1950) 1909-ben matematikai alapokra helyezte a termodinamikát, abban arra a következtetésre jutott, hogy a hő integrálható tér, azaz egy alkalmas Pfaff-formával beszorozva, mely a hőmérséklet reciproka, konzervatív teret eredményez, az entrópiát, és ennek megfelelően efféle merőleges utakkal nem lehet két úgynevezett termodinamikai állapotot összekötni. Ennek részletezése azonban egy későbbi fejtegetés tárgya.[5]

 

 

 


[1] Frobenius tétele

[2] Cayley és Pfaff

[3] skalárpotenciál-elmélet

[4] vektormezők differenciálása

[5] Carathéodory termodinamikája

Reklámok

One response to “A munkanélküliség világa

  1. Visszajelzés: Kis tartalomjegyzék | SUNYIVERZUM

Vélemény, hozzászólás?

Adatok megadása vagy bejelentkezés valamelyik ikonnal:

WordPress.com Logo

Hozzászólhat a WordPress.com felhasználói fiók használatával. Kilépés / Módosítás )

Twitter kép

Hozzászólhat a Twitter felhasználói fiók használatával. Kilépés / Módosítás )

Facebook kép

Hozzászólhat a Facebook felhasználói fiók használatával. Kilépés / Módosítás )

Google+ kép

Hozzászólhat a Google+ felhasználói fiók használatával. Kilépés / Módosítás )

Kapcsolódás: %s