Pár szó a legegyszerűbb forgásról

Ha egy test mozgását megpróbáljuk leírni, elő kell vegyük az összes részecskéjét, fel kell tárnunk az ezekre ható erőket (melyek a kölcsönhatásaikból is származhatnak), és fel kell írjuk mindegyikre (sőt, meg is kell oldanunk) a Newton-féle mozgásegyenleteket, a híres F = ma-t, ráadásul nem külön-külön, hanem feltehetőleg egymástól szövevényes függésben. Ha figyelembe vesszük a kiinduló helyzetét és a részecskék kezdeti sebességét, már készen is vagyunk. Azonban, ha a test merev, vagyis a mozgás során bármely két pontja távolsága változatlan, ez a rengeteg egyenletből álló rendszer legalább a méretében leegyszerűsödik. Emlékeztetek rá, hogy ebben a speciális esetben a test mozgását leíró egyenletek száma hatra zsugorodik, ami hallatlan előny minden olyan test esetén, amelynek több mint két részecskéje van (részecskeként 3-3 skaláregyenletünk volna az általános esetben). A hat egyenletből három a megszólalásig hasonlít az előbb említett II. axiómára, csak a betűk jelentése módosul. Az F = d(mv)/dt-ben F a testre ható összes erő eredője, v a tömegközéppont sebessége, m a test teljes tömege. Igen gyakori jelenség merev testek körében, hogy tömegük állandó, és ilyenképpen kiemelhető a differenciálás elé: F = ma. A további három egyenletet összefoglaló vektoregyenlet: M = d(Θω)/dt. Itt M a tömegközéppontra redukált erőrendszerben szereplő nyomaték, mely az egyes erők nyomatékainak és esetleges erőpároknak az eredője, ω a szögsebesség.

Ám Θ jellemzően nem emelhető ki a deriválás elé, lévén maga is változó mennyiség a test mozgása során. Ha valamilyen speciális okból állandó, például elemi tanulmányaink során forgástestek esetén, akkor természetesen kiemelhető, és abban a ritka esetben M = Θβ-t kapunk, ahol β a szöggyorsulás…

De itt egy pillanatra vegyük számba az idáig elkövetett visszaéléseket. Adottnak tételeztem az erő és a tömeg fogalmát, noha itt a fizika alaprejtélyeiről van szó. A gyorsulás fogalmát is adottnak tételeztem, de az színtisztán matematikai fogalom, és így elhárítom az erkölcsi felelősséget magamról. Az erő nyomatékán egy pontra az r × F vektoriális szorzatot értjük, ahol r a szóban forgó pontból az erő hatásvonalának tetszőleges pontjába mutató vektor. (Mellékes megjegyzés: merev test viselkedését nem befolyásolja, ha a rá ható erőket önmagukkal párhuzamosan eltoljuk.) Szöggyorsulás? Egy merev test egészére kiterjeszthető terminus, amely ugyanolyan jelentésű, mint egy tömegpont szöggyorsulása valamely tengely körül.[1] Ami az első komolyabb megpróbáltatás, az nem a két egyenletcsoport hasonlósága, hanem különbsége. Míg m, a tömeg skalármennyiség, addig Θ, a tehetetlenség lineáris leképezés. Így amíg nem fordulhat elő, hogy a tömegközéppont gyorsulása és a testre ható erők eredője ne lennének párhuzamosak, addig a forgatónyomaték és a szöggyorsulás csak piros betűs ünnepeken esnek egy irányba. (Valamint elemi iskolás tanulmányaink alatt.) A következő néhány mondatos mentegetődzés szabadon, a fonal elvesztése nélkül átugorható, szólok, ha befejeztem.

Θ-t valamely (diadikus) bázisban reprezentálva kapjuk a (szimmetrikus) tehetetlenségi mátrixot, θij-t.[2] Az egyszeresen kovariáns és egyszeresen kontravariáns tenzoriális forma helyett, némely esetleges nyájas olvasóm meglepetésére, a szintén szimmetrikus kétszeresen kontravariáns θij alakot fogom használni kényelmi okokból, mert kihasználom, hogy a lehető legegyszerűbb világűrben folytatjuk vizsgálódásainkat, mely globálisan euklidesi (sz. Kr.e. 300?), háromdimenziós tér, és így a tér számértékű lineáris leképezései (azaz lineáris formái) azonosíthatók a tér vektoraival. Egy-egy, a teret önmagába képező tenzor reprezentálásakor, szintén kényelmi okokból, olyan diadikus eifj bázist szokás választani, melyre fj(ei) = δji, azaz az (ei) vektorbázisra merőleges és megfelelően normált (fj) bázist választunk a lineáris formák (esetünkben tehát azonos dimenziójú) teréből. Ám globálisan euklidesi térben, ha (ei) ortonormált, akkor saját maga ortogonális bázisaként kezelhető. Magyarázkodás befejezve.

Felveszünk tehát egy (ei) ortonormált bázist, melyet saját ortogonális bázisának tekintve Θ reprezentációja θij. Tetszőleges v vektor kovariáns koordinátáit vi-vel jelölve, ahol tehát vi a vei skalárszorzat, Θ hatása v-re így írható le: Θv = θijeivj, ahol Einstein (1879 – 1955) kényelmes összegzési konvenciója szerint az átellenes irányban felírt indexek szerint összegzés zajlik (esetünkben tehát kettős szumma).
No de miféle vizsgálatokat fogunk mi folytatni? A lehető legegyszerűbbet: megnézzük, mi történik egy, a legegyszerűbb világűrben magára hagyott, a tömegközéppontján átmenő valamely tengely körül megforgatott, majd elengedett testtel. Nyilván ez minden forgómozgás közül a legelemibb. Külső erőhatásoktól mentes test lendülete (mv, v a tömegközéppont sebessége) állandó. Esetünkben tehát a test tömegközéppontja mozdulatlan. (Mihez képest? A test kiinduló helyzetéhez mint koordinátarendszerhez képest.) Nyomatékoktól mentesen, hasonlóan, a test perdülete (Θω, ω a test szögsebessége) szintén állandó. Ámde, mivel a test elfordul, Θ változik, ezért ahhoz, hogy a perdület megmaradhasson, nem várható el, hogy ω is megmaradjon. (Az ebből fakadó mozgást precessziónak hívjuk.) Ebben az említett legegyszerűbb helyzetben megvizsgáljuk a test szögsebességének változását.
Legelső észrevételünk az, hogy mivel a tömegközéppont helyzete állandó, a rajta keresztülmenő pillanatnyi forgástengelyen elhelyezkedő pontok sebessége e pillanatban 0. Tekintsük origónak, azaz a helyvektorok kiindulópontjának a tömegközéppontot. Így a test egy r helyvektorú pontjának sebessége ω × r. A testhez kötött (ei) ortonormált vektorbázisra ugyanez áll, és a bázis a mozgás során mindvégig megőrzi ortonormált jellegét. Jelöljük Π-vel a pedületet. Így tehát a θijei ωj = Π egyenlet idő szerinti deriválásával, a szorzatfüggvény deriválási szabályának megfelelően az alábbit kapjuk:

alapegyenlet

Szabadságunkban áll megválasztani az (ei) ortonormált bázist. Célszerűen úgy választunk, hogy az ei vetorok mutassanak a főtengelyek irányába. Ezek azok az irányok, amelyekbe mutató vektorbázisban reprezentálva a (szimmetrikus, pozitív definit) tehetetlenségi tenzort diagonális mátrixot kapunk. Az átlóban elhelyezkedő elemek a fő tehetetlenségi nyomatékok. Sorrendjüket válasszuk meg úgy, hogy (esetleg nem szigorúan) csökkenjenek. A fő tehetetlenségi nyomatékokat jelöljük ϑi-vel. (A továbbiakban ügyeljünk rá, hogy a négyzetre emelést megkülönböztessük a 2-es felső indextől!) Az egyszerűsítési lehetőséget jobban észrevesszük, ha koordinátánként kiírjuk az egyenleteket:

1 keplet nagy

Bár a kapott differenciálegyenlet-rendszer durván nemlineáris, mégsem teljesen reménytelen: ha mindegyik egyenletet megszorozzuk azzal a komponenssel, amelyik nem szerepel a jobb oldalukon és 2-vel, akkor a baloldalakon a szögsebesség komponensei négyzetének deriváltjai állnak, a jobboldalak pedig arányosak egymással. Ha tehát A-val jelöljük azt a függvényt, melyre A(0)=0 és keplet bizt

akkor2 keplet

Bármely beszorzott fenti egyenletbe visszahelyettesítve

3 keplet

megengedve magunknak azt a kicsapongást, hogy a gyökök „szükség esetén” előjelet váltsanak. Az így kapott differenciálegyenlet szétválasztható, és a kezdeti feltételt figyelembe véve 4 kepletFigyelembe véve a konvenciót, egyenlőség a fő tehetetlenségi nyomatékok között úgy fordulhat elő, hogy ϑ2 egyenlő a másik két tehetetlenségi nyomaték egyikével vagy mind a kettővel. Ez utóbbi esetben A, és így a szögsebesség időben állandó. Ha csak az egyikkel, a kapott integrál akkor is zárt alakra hozható. Legyen például ϑ2 = ϑ3. Ekkor érdektelen elemi lépések után a szögsebesség komponenseire a következőket kapjuk, úgy tekintve, hogy a nullát elérő (második) gyök ott előjelet vált: 5 keplet

Ebben a speciális esetben tehát jól láthatóan a szögsebességvektor úgy változik periodikusan, hogy periódusideje 6 kepletés hossza állandó.
Az általános esetben, tehát ha a fő tehetetlenségi nyomatékok páronként különböznek, az integrál nem hozható zárt alakra. Ekkor az A-ra vonatkozó differenciálegyenlet második gyökös tényezője fogja 7 keplet -nál elérni a nullát. A változók szétválasztása során a gyöktényezők a nevezőbe kerülnek, tehát a szó szigorú értelmében a keletkező fenti időintegrál improprius, de a -1/2-es kitevőnek hála maga az integrálfüggvény nem válik végtelenné. Az általános esetben a szögsebességvektornak még a hossza sem marad állandó (a test időnként meglódul), amint azt a komponensek négyzeteinek összegzéséből észrevesszük, és kúppalástról sem lehet szó, amelyet körbefutna.


Magasabb dimenzióban sem sokkal bonyolultabb a helyzet. Például négy dimenzióban egy merev test mozgását azért tíz adat jellemez, mert egy benne felvett háromdimenziós tetraéder (szimplex) hat adatához kell még négy, amellyel a csúcsait mintegy kipányvázzuk egy negyedik dimenzióban elhelyezkedő ponthoz. Ennek megfelelően tíz mozgásegyenletet kell rá felírnunk, melyből négy a tömegközéppontja gyorsulása, a fennmaradó hat a négydimenziós térben végzett forgás szöggyorsulását írja le. Itt ugyanis arról van szó, elmesélve, hogy előbb kiválasztjuk azt a (háromdimenziós) teret, amelyben a (pillanatnyi) forgás végbemegy, ez pedig a „lenti”, háromdimenziós forgás három adatához azért ad hozzá újabb hármat, mert magának a térnek a kiválasztása további három adatot kíván (az origó körüli négydimenziós egységgömb háromdimenziós felületének valamely pontja jelöli ki a háromdimenziós térre merőleges irányt). Azaz a négydimenziós forgás két négydimenziós vektor kijelölését feltételezi: az egyik a teret jelöli ki, de egységvektor (három adat), a másik a háromdimenziós forgást írja le, melynek hossza ugyan lényeges (a vektor hossza szabja meg az elforgatás sebességét), de mivel a térkijelölő vektorra merőleges, ez csak további három független adatot jelent. Teljesen természetes módon n dimenzióban n haladási egyenlet írja le a merev test tömegközéppontjának mozgását, és n(n – 1)/2  a pillanatnyi forgását.


[1] http://www.physics.ttk.pte.hu/pages/munkatarsak/nemetb/AF-d3_ea.htm

[2] http://elmmech.uw.hu/elmfejezet11.html

Reklámok

5 responses to “Pár szó a legegyszerűbb forgásról

  1. Megjegyzendő ehelyütt, hogy Newton “F=ma” II. törvényének az analogonja, azaz az “M=\Theta\beta” képlet érvényben marad, ahol \beta a szöggyorsulás vektora, M a forgatónyomaték vektor, \Theta pediglen a szilárd test tehetetlenségi nyomatékának 3×3-as szimmetrikus tenzora. Egy szilárd test 3-dimenziós euklideszi térben történő mozgásának az elmélete nem egyéb, mint a tér mozgásai Lie-csoportjának a differenciálgeometriája. E csoport az SO(3) forgáscsoport és az R^3 eltoláscsoport ferde szorzata, ahol is az eltolások alkotnak normálosztót.

    Kedvelik 1 személy

  2. Súlyos, nagyon súlyos bejegyzés… 🙂

    Kedvelés

  3. Az analógiát változó Θ esetén aggályosnak látom, mint ahogy F sem egyenlő ma-val változó tömeg esetén.

    Kedvelik 1 személy

  4. Foroghatunk együtt a merev testtel, de ez technikailag nem segít rajtunk, mivel nem inerciarendszerben vagyunk, és ezért Gaspard-Gustave Coriolis (1792 – 1843)-erőket kell hozzávegyünk.

    Kedvelik 1 személy

Vélemény, hozzászólás?

Adatok megadása vagy bejelentkezés valamelyik ikonnal:

WordPress.com Logo

Hozzászólhat a WordPress.com felhasználói fiók használatával. Kilépés / Módosítás )

Twitter kép

Hozzászólhat a Twitter felhasználói fiók használatával. Kilépés / Módosítás )

Facebook kép

Hozzászólhat a Facebook felhasználói fiók használatával. Kilépés / Módosítás )

Google+ kép

Hozzászólhat a Google+ felhasználói fiók használatával. Kilépés / Módosítás )

Kapcsolódás: %s