Gömbök és görögök

Az élet egy egész napos őrszolgálatra hasonlít:
m
ire megpillantjuk a fényt, már át is kell adnunk a helyünket.

(Szofista Antifon, Kr.e. V – IV. sz.)

1 Valenciennes,_Pierre-Henri_de_-_Cicero_Discovering_the_Tomb_of_Archimedes

de Valenciennes (1750 – 1819): Cicero (Kr.e. 106 – 43) Kr.e. 75-ben megtalálja Arkhimedes (Kr.e. 285? – 212) sírját (1787)

Gyerekkorunk csodált elemi gömbtérfogat-számítási mintája:

2 sphere_cavalieri_svg

– az ábrán látható módon helyezzünk egymás mellé egy r sugarú félgömböt és egy olyan r sugarú, r magasságú hengert, melyből – amint az ábrán – felülről kivágtunk egy r sugarú, r magasságú kúpot. Minden szereplő test forgástest. Az utóbbi (bal oldali) test térfogatát megkapjuk, ha a henger térfogatából kivonjuk a harmad akkora kúptérfogatot. Az eredmény 2r3π/3. Most messük el a két testet vízszintesen y magasságban. A bal oldali test keresztmetszete körgyűrű, melynek külső sugara r, belső sugara y, így területe (r2y2) π. A félgömb keresztmetszete kör lesz, melynek ugyanekkora a területe, hiszen Pythagoras (Kr.e. 570? – 495) tétele értelmében sugara négyzete megkapható egy derékszögű háromszög átfogója négyzetéből (r2) kivonva az ismert másik befogó négyzetét (y2). De ha két testet egyenlő magasságokban elmetszve ugyanakkora területű keresztmetszeteket kapunk (tételeztük fel gyerekfejjel, ám mégsem alaptalanul), a két test térfogata megegyezik. Vagyis a teljes gömb térfogata, egybecsengően a függvénytáblázatok képleteivel, 4r3π/3.

 Ezt az okfejtést, szépsége alapján, ógörögnek hittük, de a helyzet ennél kissé bonyolultabb, át kell tekintsük.
A kilikiai Simplikios[1] (490? – 560?)  mintegy ezer évvel későbbi tanúsága szerint Szofista Antifon, korának kiemelkedő ügyvédje és filozófusa – Sokrates (Kr.e. 469 – 399) vitapartnere – egyben matematikus is volt, aki felállította az 1647-ben Grégoire de Saint-Vincent (1584 – 1667) által methodus exhaustionibusként elnevezett módszert. Ez abban állt, hogy egy ismeretlen területű alakzatot egyre jobban „kimerített” átfedésmentes ismert területűekkel, és ilyenképpen egyre jobb közelítését kapta az ismeretlen területnek.[2] Szofista Antifon ilyenképpen jó közelítést adott a kör területére. Bár alapformájában az eljárás nélkülözte a kellő precizitást, közvetlen következményül mégis világos volt, hogy a kör területe a sugárral négyzetesen arányos. Kortársa, az erakleiai Bryson már belső és külső területekkel dolgozott, de túlzó (és nyilvánvalóan megalapozatlan) optimizmussal az ismeretlen területet a belső és külső közelítések számtani közepének képzelte.[3]

3 FieldsMedalFront

Arkhimedes (a Fields-érmen)

Se az ő matematikai írásaik, se az elvet precízen lefektető knidiosi Eudoxoséi (Kr.e. 408 – 355) nem maradtak fenn, de az elv olyan mély hatást tett a syrakusai Arkhimedesre, hogy a maga által legfontosabb művének tekintett Gömbökről és hengerekről című értekezésében gyümölcsözően alkalmazta ezt a módszert. Más munkáiban is, például a parabola alatti terület meghatározásakor. Amikor Arkhimedes köreit utoljára megzavarták, sírjára a Syrakusát legyőző Marcus Claudius Marcellus (Kr.e. 268? – 208) a barátok ösztönzésére egy hengert és egy gömböt vésetett.[4]

4 ciccimA történetből annyi bizonyosra vehető, hogy a sírkövön látható volt ez a két test: Cicero (Kr.e. 106 – 43) Kr.e. 75-ben questor volt Syrakusában, és a közönyös helybéliek szófukarsága dacára is megtalálta a sírt egy bozótban, sőt, helyre is hozatta, amint arról Tusculumi eszmecsere című műve V. könyvének 64-66. szakaszában be is számol.[5] Hogy ezt a mintát maga Marcellus vésette volna oda, Livius (Kr.e. 59 – Kr.u. 17)  nem említi, csak egy kései forrás, Tzetzes János (1110? – 1180) konstantinápolyi költő és grammatikus.

5 Barbetti 1821 - 1867 cicero-tomb-of-Archimedes

Barbetti (1821 – 1867): Cicero megtalálja Arkhimedes sírját

6 liu-hui

Liu Hui kínai matematikus a III. században a maga körterület-számításához újrafelfedezte a módszert.[6]

valaszto

Bármekkora megbecsülés is illeti ezeket a korai matematikai teljesítményeket, látnivaló, hogy analitikus megoldásaik (legalábbis látszólag) nagyon messze állnak attól az elegáns megközelítéstől, amellyel indítottuk rövid lélegzetű megemlékezésünket.

7 Bonaventura_Cavalieri

Bonaventura Cavalieri (1598 – 1647)

Az ötlet ugyanis (a térfogatok egyenlőségéről egyenlő keresztmeszetek esetén) végső kifejletében a milánói Bonaventura Cavalieri (1598 – 1647) elve.[7] Kétségkívül sejtett belőle valamit a kínai matematikus, Cu Csung-cse (429 – 500) és fia, Cu Geng-cse (450? – 520?), akik gömbtérfogat-számolásuk során, közelítő céllal, alkalmaztak egy efféle szeletelést[8], de ezekről a kezdeti ötletekről Cavalieri, az elv általános kimondója, egyben ilyenképpen a matematikai analízis jelenős előfutára nyilván semmit sem tudott.

8 Cu Csung-cse

Cu Csung-cse

Természetesen ha már ismerjük a gömb térfogatát, a felszínét megkapnunk második gyerekjáték.

9 coffee-filterKépzeljünk el egy gömböt hézagmentesen kitöltve olyan forgáskúpokkal, melyek csúcsai a gömb középpontjába esnek – ne szőrözzünk ezzel sokat: tudjuk, hogy ez pontosan nem lehetséges, de körülbelül igen – , alapjaik pedig (távolról, résnyire nyitott szemmel) a gömb felületévé olvadnak össze. Ekkor az alapterületek A összegét, azaz a gömbfelszínt megszorozva a közös (kb.) r magassággal és 3-mal osztva a kúptérfogatok összegét, egyben a gömb térfogatát is megkapjuk, amiből A = 4r2π. (A gondolatmenet természetesen precízzé tehető.)


[1] http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Simplicius.html

[2] A Short History of Greek Mathematics

[3] A History of Mathematics

[4] Arkhimedes

[5] Cicero megtalálja Arkhimedes sírját

[6] http://www.famous-mathematicians.com/liu-hui/

[7] http://mathworld.wolfram.com/CavalierisPrinciple.html

[8] http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Zu_Chongzhi.html

Advertisements

6 responses to “Gömbök és görögök

  1. Szerintem a gyönyörű indító gondolatmenetnek ha van egy picit rozoga része, az az, hogy a kúp térfogatszámításánál az alapterület és a magasság szorzatát miért épp 3-mal kell osztani? Félek, hogy én ezt mindig csak az r^2 függvény integrálása révén értettem meg, ami inkább újgörög, nem ó.

    Kedvelés

  2. “Cicero (Kr.e. 106 – 43) Kr.e. 75-ben questor volt Syrakusában” itt kaptam a szívemhez (a q-bötűs szóhoz érvén)

    Kedvelés

  3. Kedves S., a rozoga részt kifogásoló jogos bírálatodra görög válasz adható. Vegyünk egy négyzetet, melynek területe akkora, mint a körkúp alapköréé (újgörögöknek ez már nem okoz problémát), és állítsunk fel rá a kúppal egyenlő magasságú olyan gúlát, melynek egyik oldaléle a négyzet síkjára merőleges. Ez a gúla Cavalieri szerint megegyező térfogatú a kúppal, és ilyenből három tételesen, hézag- és átfedésmentesen kitölti a négyzetre mint alapra helyezett négyzetes oszlopot.

    Kedvelik 1 személy

    • Kiváló, köszönom, de van nekem egy ennél könnyebben, jobban látható geometriai érvelésem: Vegyünk egy kockát, és mindegyik lapja fölé, mint alap fölé, emeljünk egy kúpot (ami jelen esetben persze gúla) a koceka középpontjával, mint csúcsponttal, és konkludáljunk, hogy az így nyert 6 egybevágó gúla diszjunkt uniója az eredeti kocka, stb…

      Kedvelik 1 személy

Vélemény, hozzászólás?

Adatok megadása vagy bejelentkezés valamelyik ikonnal:

WordPress.com Logo

Hozzászólhat a WordPress.com felhasználói fiók használatával. Kilépés / Módosítás )

Twitter kép

Hozzászólhat a Twitter felhasználói fiók használatával. Kilépés / Módosítás )

Facebook kép

Hozzászólhat a Facebook felhasználói fiók használatával. Kilépés / Módosítás )

Google+ kép

Hozzászólhat a Google+ felhasználói fiók használatával. Kilépés / Módosítás )

Kapcsolódás: %s