A legirracionálisabb szám

Ennek a kisebb észrevételnek nem ambíciója, hogy piszkos lábbal a matematika szent csarnokába surranjon. Egy-két szót kényelmi okokból elcsenek a sanctuariumból; talán nem követek el ezzel akkora visszaélést, mint az ezoterikusok a klasszikus fizika szókincsével („erő”, „energia”, „sugárzás”, „áram”).

Két szálon fut a cselekmény.
1 Hippasos_di_MetapontoEgy időben úgy tartották, a metapontioni Hippasos a samosi Pythagoras (Kr.e. 570? – 495) tanítványa volt, ám mivel mintegy száz évvel később élt, ez legfeljebb spirituálisan értendő. Ő volt, aki az addig fennállt – amúgy pythagorasi – hitet a legkisebb egységről, mellyel minden mennyiség kimérhető, egy ötletes levezetéssel szétzúzta, bebizonyítva, hogy a (pozitív) szám, mely magával megszorozva 2-t ad, nem írható fel két egész szám hányadosaként. Mitologikus elem, hogy ezért vízbe fojtották volna, de a hatás valóban sokkoló lehetett. A feléledő görögség aztán – a knidiosi Eudoxos (Kr.e. 408 – 355) személyén keresztül – csakhamar bő munkában foglalta össze felfogását az ilyen “értelmetlen” (alogos) számokról. Rájuk az “irracionális” jelzőt csak a késő XIV. századtól használják – érdekes kettős értelemben, hiszen a ráció értelem is, arány is.

2 Aryabhata

Arjabhata (476 – 550)

Másfelől a marokkói Abu Bakr al-Hassar csillagász és matematikus alkalmazta először a törtvonalat a XII.században írt egyetlen fennmaradt művében, a Kitab al-kamil fi sinaat al-adadban (A számok tudományának teljes könyve). Az Észak-Afrikában ismereteket szerző Fibonacci (1170? – 1240?) is átvette az újítást. Magának a törtszámnak a fogalmához nincs szükség törtvonalra, olyannyira, hogy az egyik legkorábbi indiai matematikus, a csillagászatban szintén mester idősebb Arjabhata (476 – 550) a teljes egészében ránk maradt tudományos könyvében, az Arjabhatijában már a mai értelemben használja a lánctört fogalmát.

Tudjuk jól, hogy bármennyire hatékonyak is a műveleti jelek, visszaélésszerű használatuk kínos meglepetésekhez vezethet – értve ezen végtelen egymásba vagy magukba ágyazását. (Még a legnagyobbak sem tudnak végtelen sok műveleti jelet papírra vetni – mikor már úgy gondolják, az olvasó érti, hogyan folytatódna a végtelenségig az elképzelésük, vagy három pontot tesznek ki, vagy – elegánsabban – egyéb speciális matematikai szimbólumokkal váltják ki a végtelenség érzetét.) Bizonyos esetekben a végtelen sok műveleti jel alkalmazásával a tudománytalanság posványába veszünk: 1 – 1 + 1 – 1 + -…, máskor, pl.: 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 +…, egészséges végeredmény jön világra. Kétség esetén forduljunk szakértőkhöz.

A törtvonalak sajátos végtelenjéből alakul ki a végtelen lánctört, röviden lánctört. Az e szám egy érdekes lánctörtelőállítása így fest:3 e

Szerencsénkre meggyőző érvek garantálják, hogy ha egy ilyen végtelen emeletű monstrumban pozitív egészeket léptetünk fel, a keletkező gólemnek lesz értelmezhető és egyértelmű értéke. Mi több, ha kikötjük, hogy minden számláló 1 legyen (ezek az egyszerű lánctörtek), akkor minden valós szám egyértelműen lánctörtbe fejthető. (Ennek algoritmusa egyszerűen kitalálható.) A nevezőket indító egész összeadandókat konvergenseknek nevezzük (itt főnév, nem melléknév!). Például a π előállítása a következő:4 pi

Ha arra hivatkozva, hogy a konvergensek egyike, a 292 “kiugróan nagy”, így az a tört, melynek nevezője ezzel indul, már “nyugodtan” elhagyható, és az így kapott racionális szám már “kitűnően” megközelíti a π-t, ezt kapjuk:5 pi

Persze ha nem ragaszkodnánk hozzá, hogy az előállító lánctört egyszerű legyen, nagyobb szépségben lenne részünk…6 pi

Homályosan azt mondhatjuk, hogy ugyan a π köztudomásúlag irracionális, ebben az értelemben közel áll egy racionális számhoz. És még mindig ebben a nem különösebben világos értelemben a lehető legirracionálisabb számot úgy kapjuk, ha a lánctörtelőállítás minden konvergense 1.7 fi Hiszen ekkor a legfájdalmasabb bármelyiküknél is levágni a közelítést. Így érti például Ian Stewart, hogy ez a speciális tört a legirracionálisabb szám. Mármost ha ezt a számot φ-vel jelöljük, az előállítás azt mutatja, ha a reciprokát vesszük és abból 1-et kivonunk, újból φ-t kapunk. Ez másodfokú egyenletre vezet, melynek számunkra értelmes megoldása8 fiÁlljunk meg egy pillanatra! Ha 1-et úgy akarnánk kétfele osztani, hogy a nagyobb rész (x) aránya az egészhez (x) megegyezzen a kisebb rész és a nagyobb arányával, (1-x) : x-szel, ugyanazt a másodfokú egyenletet kapnánk, ugyanezzel a végeredménnyel. Azaz az egyiptomiak és Pythagoras dédelgetett aranymetszése, minden harmónia ősaránya – a legirracionálisabb szám.

Ha az arányszámot közelítjük a véges lánctörtjeivel, a számlálók és nevezők szükségképpen a jól ismert Fibonacci-számok egymásutánjai lesznek.

A napraforgó elgondolása az irracionalitásról hasonló Ian Stewartéhoz.

Elgondolásról komolytalanul sem illik beszélnünk: a gondolkodás és a nemgondolkodás legfőbb különbsége nem az, hogy ami a gondolatnak egy év, az a természetnek ötvenmillió, hanem a tévút keserves következménye. A nemgondolkodás tévútjainak büntetése a szinte biztos kipusztulás (írmagostul). A bizonyosság nem teljes, a környezeti hatások “ördöge” nagyritkán életben tart egy-két konstrukciós hibát a darwinizmus ellenfeleinek nagy örömére. Persze az öröm átmeneti: a hagyományos alternatív elképzelések számára sem hízelgőek az efféle kisiklások.

Az élőlény utódlási szerveinek becsben, biztonságban tartása eminens érdeke a fajnak, abban az egyszerű értelemben, hogy az elv be nem tartása biztos út a süllyesztőbe. Biztosra vehetjük, hogy a napraforgó (vagy a többi élőlény) genetikai működése a lehető legegyszerűbb a túléléshez – a bonyodalom veszélyt rejt. Így például a magvak elhelyezkedése a magházban nem egyesével, külön-külön, személyre szabott irányítások, hanem valamely központi parancs segítségével megy végbe. Például, mint a mellékelt, gyerekesnél is gyerekesebb Excelben, modellképpen, két vezérlő elem működik: mekkora a forgásszám, azaz a meglevő maghoz a következő a teljesszög hányadrésze szerint helyezkedjen el, és hányszor távolabb a középponttól. Határozottan ügyetlennek mondanánk egy napraforgót 1/5-ös forgásszámmal. Az első gyerek leszakítaná a magház ötödét. Ha a forgásszámot kicsit (0,001-del) megemeljük, az eredmény kedvezőbb, de valahogy még nem az igazi.

9 0_210 0_201

valaszto

A legtömöttebb, legbiztonságosabb forgásszámot akkor kapjuk, ha az a lehető legirracionálisabb. (A növekedési arány mindhárom esetben 1,0008.)

11 irrac

12 Sunflower

13 pineconeAmelyhez a napraforgó bizonyára az egymást követő Fibonacci-számok arányaival jutott el, amint azt például fenyőtobozokon láthatjuk – 3:5, illetve 5:8-os arányokkal. (A magasban láthatólag kisebb a fenyegetettség.)

Az irracionalitás “fokáról” nem mindenki vélekedik így. Például Clement E. Falbo észreveszi, hogy ha φ előállító törtjének konvergenseit egynél kisebb pozitív számokra cseréljük, a konvergencia lassulni fog. (Ez nyilván komolytalan érv. Ha ezt a cserét végrehajtjuk, az így nyert szám valóságos konvergensei egész mások lesznek, amelyekkel a konvergencia lényegesen gyorsabb.)

14 Joseph Liouville

Joseph Liouville (1809 – 1882)

Sokkal mélyebb Joseph Liouville elgondolása. Legyen x tetszőleges irracionális szám. Célunk, hogy p/q racionálisokkal közelítsük meg (p és q relatív prím, q > 0).

15 Liouville

Ha a képletben szereplő n 1-gyel egyenlő, ez a közelítés nyilvánvalóan minden q nevezőre elvégezhető. Nevezzük egy adott x irracionális szám irracionalitása mértékének azoknak az n valós számoknak a legkisebb felső korlátját, melyekre az egyenlőtlenség végtelen sok (p, q)-ra fennáll. A következők teljesülnek. Racionális számokra a mérték 1. Algebrai irracionálisokra 2 (Thue-Siegel-Roth-tétel), de a transzcendens számok 100%-ának irraconalitási mértéke is 2, közéjük tartozik az e is. A fennmaradó 0% mértéke 2-nél nagyobb. A π-é nem ismert, de legfeljebb 7,60630853. Liouville olyan számokat mutatott, melyek irracionalitási mértéke végtelen.


16 Hincsin

Alekszandr Jakovlevics Hincsin (1894 – 1959)

A rövid kalandot fejezzük be egy igazi szépséggel. Alekszandr Jakovlevics Hincsin 1934-ben kimutatta, hogy ha egyenletesen véletlenül választunk egy számot a (0, 1) intervallumból, és annak lánctört-előállításában vesszük a konvergensek mértani közepét, akkor ez 100% valószínűséggel ugyanahhoz a számhoz, az ún. Hincsin-állandóhoz tart (2,685452001…), melyről még az sem tudott, racionális-e. (Világos, hogy az aranymetszés arányszáma a fennmaradó 0%-ba tartozik.)

17 Paul_Pierre_Levy_1886-1971

Paul Pierre Lévy (1886 – 1971)

Ugyanő a következő évben kimutatta, hogy a konvegensek n-edik gyöke is 100% valószínűséggel egy bizonyos számhoz tart, amit viszont egy újabb évre rá Paul Pierre Lévy (1886 – 1971) ki is számolt (Hincsin – Lévy-állandó):

 18 Levy const

(Azóta hasonló állítást harmonikus közepekre is bizonyítottak, és a konvergencia sebességére is egyre jobb becsléseket adnak.)

Reklámok

11 responses to “A legirracionálisabb szám

  1. Még dolgoznom kell az életben maradásért.

    Kedvelik 1 személy

  2. Majd ha egyszer lesz sok időm, hogy folytatni/csiszolni tudjam, amit elkezdtem, megengeded, hogy hivatkozzam erre az oldalra a legelső “irodalom” leckémnél?
    http://irodalomtanulas.hu/9-evfolyam/bevezetes/szepseg-termeszet-tudomany-muveszet/

    Kedvelik 2 ember

    • Kiváló ötlet a gimnáziumi irodalomtanítást a szépség, a harmónia természetből való eredeztetésével indítani! Ezt a szépséget nálunk az antik irodalom gyönyörűségeinek a felmutatásával próbálta meg megértetni velünk a jó Gy. V., de én akkor ehhez még éretlen voltam.

      Kedvelik 1 személy

  3. Hincsin gondolatai már a Gauss leképezés (x |—> {1/x}) és az ergodelmélet vízeire eveztetnek bennünket. 🙂

    Kedvelik 1 személy

  4. Nem bír elszakadni a magyartanítás a kronológiától, sajnos. Volt néhány izgalmas év, amikor lehetett mást is, máshogyan is, de most megint nem olyan időket élünk.

    Kedvelés

  5. Megjegyzendő itt, hogy ugyan a transzcendens számok Lebesgue-mérték szerinti száz százalékának 2 az irracionalitási mértéke, ellenben a végtelen irracionalitási mértékű, úgynevezett Liouville számok egy sűrű G-delta halmazt alkotnak, tehát topológiai értelemben ők a tipikusak. A véges irracionalitási mértékű, azaz nem Liouville számokat szokás diofantosziaknak (Diophantine) is nevezni.

    Kedvelik 1 személy

  6. Tisztelt S., nagyon köszönöm, igen, ez a “csodás elem” (alkalmatlan szó – mint Beethoven mondaná, inkább az érzés kifejezése) hozzá tartozik a probléma lényegéhez.

    Kedvelik 1 személy

  7. Visszajelzés: Transzcendens etüd | SUNYIVERZUM

  8. Visszajelzés: Kis tartalomjegyzék | SUNYIVERZUM

Vélemény, hozzászólás?

Adatok megadása vagy bejelentkezés valamelyik ikonnal:

WordPress.com Logo

Hozzászólhat a WordPress.com felhasználói fiók használatával. Kilépés / Módosítás )

Twitter kép

Hozzászólhat a Twitter felhasználói fiók használatával. Kilépés / Módosítás )

Facebook kép

Hozzászólhat a Facebook felhasználói fiók használatával. Kilépés / Módosítás )

Google+ kép

Hozzászólhat a Google+ felhasználói fiók használatával. Kilépés / Módosítás )

Kapcsolódás: %s