Húrsokszögek porizmái

 (A porizmának nincs definíciója, végtelen sok egymásba kapcsolódó tételt értenek rajta.)

  • 1. Állítás: egy húrnégyszöget felépítő négy háromszög magasságpontjai a húrnégyszöggel egybevágó húrnégyszöget alkotnak.

Bizonyítás: most és a továbbiakban a húrsokszögek körülírt körének O középpontjából a csúcsokhoz vezető vektorokat aivel, összegüket s-sel jelöljük.

Így a négy magasságpont s ai (i = 1, 2, 3, 4), azaz a négy csúcs O-ra tükrözve és s köré eltolva.

  • 2. Állítás: egy húrötszöget felépítő öt húrnégyszögben az 1. Állításban hozzárendelt húrnégyszögek köré írt körök egy ponton mennek keresztül.

Bizonyítás: ezeknek a köröknek a sugara egyenlő (a húrnégyszög köré írt kör sugarával), és így akkor és csak akkor mennek át egy ponton, ha középpontjaik húrsokszöget alkotnak, amely köré írt kör sugara megegyezik a közös sugárral. A középpontok azonban s ai alakúak, azaz a húrötszög csúcsai O-ra tükrözve és s köré eltolva.

  • 3. Állítás: egy húr-2n-szöghöz egy kört rendelhetünk a felépítő 2n-1-szögekhez rendelt pontok körülírt köreként, melyek rendre a metszéspontjai a felépítő 2n-2-szögekhez rendelt köröknek (n > 2).

Bizonyítás: egy húr-2n-2-szöghöz rendelt kör sugara megegyezik a köré írt kör sugarával. Ilyen felépítő sokszög (és így hozzá rendelt kör) 2n-1 van a húr-2n-1-szögben. Ezek középpontjai s ai alakúak, így húrsokszöget alkotnak, azaz a húr-2n-1-szöghöz valóban hozzárendelhető a pont a kívánt módon (s). Ezek a pontok azonban már s ai alakúak a húr-2n-szögben.

A fenti állítások a magasságpont helyett (s) átvihetők olyan pontokra, melyek ks alakúak, ahol k állandó, ugyanis 1-gyel megnövelve a húrsokszög csúcsainak számát ezek a pontok immár k(s ai) alakúak, azaz az eredeti csúcsok O-ra vett tükörképeinek k-szoros eltávolításai O-ból, majd eltolásaik ks köré. Így valamennyi bizonyítás megmarad, a bennük szereplő körök sugarai egyenlők (bár nem egyenlők a kiinduló kör sugarával), és közös metszéspontjuk továbbra is ks alakú.

Lemma (The Mathematical Gazette Vol. 25, Nr. 263, 1507, 1941. február nyomán): egy húrnégyszög csúcsaihoz tartozó, a maradék három csúcsra vonatkozó négy Simson-egyenes egy ponton megy át, és ez s/2.

Definíció: ezt a pontot a húrnégyszög Feuerbach-pontjának nevezzük.

Következmény: a fenti porizma ugyanúgy fennáll a húrnégyszög „magasságpontjára” (s), súlypontjára (k = ¼), illetve Feuerbach-pontjára (k = ½) is, azzal az értelemszerű változtatással, hogy itt a köröket a páratlan, a pontokat a páros oldalszámú húrsokszögekhez rendeljük.

https://sunyiverzum.wordpress.com/?attachment_id=435

Vélemény, hozzászólás?

Adatok megadása vagy bejelentkezés valamelyik ikonnal:

WordPress.com Logo

Hozzászólhat a WordPress.com felhasználói fiók használatával. Kilépés /  Módosítás )

Google kép

Hozzászólhat a Google felhasználói fiók használatával. Kilépés /  Módosítás )

Twitter kép

Hozzászólhat a Twitter felhasználói fiók használatával. Kilépés /  Módosítás )

Facebook kép

Hozzászólhat a Facebook felhasználói fiók használatával. Kilépés /  Módosítás )

Kapcsolódás: %s